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Grundlagen der Kryptologie

 

3. Verallgmeinerung der zyklischen Permutation

 

Eine Verallgemeinerung der zyklischen Permutation erhält man mit der Abbildung:

 

   permutation_10

 

Für k = 1 ergibt sich die einfache Substitution. Der allgemeine Fall benötigt einige zahlentheoretische Untersuchungen.

Wenn z.B. k,t nicht teilerfremd zu 30 sind, dann ist die Abbildung nicht mehr umkehrbar eindeutig, d. h. zwei Buchstaben würden durch denselben ersetzt.

 

Für k = 7 und t = 6 ergibt sich die Abbildung:

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

Ä

Ö

Ü

ß

G

N

U

Ö

E

I

S

Z

C

J

Q

X

A

H

O

V

Ü

F

M

T

Ä

D

K

R

Y

B

I

P

W

ß

 

Für die Fixelemente bedeutet dies, dass 30 ein Teiler von (k-1)x + t ist.

Für das obige Beispiel ergibt sich:

7× 4 +6 = 34 Mod 30 = 4 30 ist Teiler von 6× 4 +6 = 30

7× 9 +6 = 69 Mod 30 = 9 30 ist Teiler von 6× 9 +6 = 60

7× 14 +6 = 104 Mod 30 = 14 30 ist Teiler von 6× 14 +6 = 90

7× 19 +6 = 139 Mod 30 = 19 30 ist Teiler von 6× 19 +6 = 120

7× 24 +6 = 174 Mod 30 = 24 30 ist Teiler von 6× 24 +6 = 150

7× 29 +6 = 209 Mod 30 = 29 30 ist Teiler von 6× 29 +6 = 180

 

Auch in einem solchen Fall kann man eine Entschlüsselung durch den folgenden Ansatz finden:

   k‘(xž k+t)+t‘ º x MOD 30 für x < 30

Die Kongruenz wird erfüllt durch

   k’ž k º 1 MOD 30 und t‘ = -k’ž t MOD 30

Es beruht auf dem Lemma von Bachet, das eine Folgerung des Satzes von Euklid ist:

Für je zwei natürliche Zahlen a, b gibt es zwei ganze Zahlen x, y mit

ggt(a,b) = ax + by

Ein entsprechender Algorithmus ist in [8] veröffentlicht.

Im Unterricht sollte man auf die Problematik bzgl. der Wahl von k, t eingehen. Einen entsprechenden Algorithmus mit den obigen Lösungsmöglichkeiten habe ich noch nicht im Unterricht behandelt. Es genügt dann eine entsprechende Eingabe-überprüfung auf Teilbarkeit.

 

 

Andere Substitutionen

 

a)  Involutorische Abbildung

Ein Alphabet lässt sich falten und eine paarweise Zuordnung herstellen:

 

   permutation_20

 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

Ä

Ö

Ü

ß

 

Der Vorteil derartiger "involutorischer Abbildungen" liegt im wesentlichen darin, dass Chiffrier- und Dechiffrierschritt identisch sind.

 

b)  Umstellung der Sequenz

Das Verfahren ist eine Abwandlung der involutorischen Abbildung (Wheatstone 1854). Das Restalphabet wird in gleicher Länge zeilenweise unter das Merkwort geschrieben. Das Ursprungsalphabet im gleichen Muster daneben:

 

A

B

 

D

 

F

G

H

 

J

K

L

M

N

O

P

Q

       

V

W

X

 

Z

 

SECUR ITY a d g j m p s v y

ABDFGHJK b e h k n q t w z

LMNOPQVW c f k i l o r u x

XZ

   permutation_30

 

Damit ergibt sich die folgende Zuordnung:

 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

S

A

L

X

E

B

M

Z

C

D

N

U

F

O

R

G

P

I

H

Q

T

J

V

Y

K

W

 

mit dem Fixelement E.

 

weiter:  Polyalphabetische Substitution

 

 
 
Saturday, 25. November 2017 / 12:20:05