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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Zentrale Universitätsaufnahmeprüfung 2002 in China
Bearbeitung: Biao Zhang (Kempen) / Bernd Westermann (Kempen)

Vorbemerkung: Die zentralen Aufnahmeprüfungen für die Universitäten entsprechen in China in der Bedeutung für die Schüler dem Abitur bei uns in Deutschland.
Jeder Studienbewerber muss eine Mathematikprüfung ablegen, ob er nun Natur- oder Geisteswissenschaften studieren will. Die nachfolgenden Aufgaben mussten im Juli 2000 die Bewerber für ein Studium der Geisteswissenschaften bearbeiten. Es wurden aus dieser Prüfung 6 von 24 Aufgaben ausgewählt, die einen Eindruck von der Prüfung geben sollen. Es kommt in diesen Aufgaben keine Analysis vor, aber dafür manche Themen, die bei uns nur selten oder nicht (mehr) vorkommen: Mengenlehre (2), Kegelschnitte (9), Formeln für Folgen (22), komplexe Zahlen und Ortslinienbestimmungen wie in (23). Interessant ist auch, dass drei unterschiedliche Typen von Aufgaben vorkommen.
Insgesamt konnte man übrigens 150 Punkte erreichen, und es standen zwei Stunden Zeit zur Verfügung.

1. Multiple-Choice-Aufgaben

(Aufgabe 2) (4 Punkte)
Gegeben sind die Grundmenge I = {a,b,c,d,e} und die Teilmengen M = {a,c,d}und
N = {b,d,e}. Dann ist

(A) Ø (B) {d}  (C) {a,c}  (D) {b,e}

(Aufgabe 5) (4 Punkte)
Der Durchmesser der Grundfläche und die Höhe eines Kegels seien genau so groß wie
der Durchmesser einer Kugel. Dann ist das Verhältnis des Volumens zwischen diesem
Kegel und der Kugel:

(A) 1:3 (B) 2:3 (C) 1:2 (D) 2:9

(Aufgabe 9) (4 Punkte)
Die kleine Achse einer Ellipse ist 2 lang und die große Achse ist doppelt so groß wie die
kleine Achse. Dann beträgt der Abstand zwischen dem Ellipsenmittelpunkt und der
Leitlinie:

(A)   (B)   (C)   (D)


2. "Füllungsaufgaben"

(Anmerkung: Es ist nur das Ergebnis einzutragen. Der Rechenweg wird nicht bewertet.)

(Aufgabe 15) (4 Punkte)
Die Periodenlänge der Funktion beträgt _______________.

3. "Analytische Aufgaben"

(Anmerkung: Die Lösungsschritte sind ausführlich darzustellen.)

(Aufgabe 22) (12 Punkte)
Die Differenz einer arithmetischen Zahlenfolge {an} und der Quotient einer
geometrischen Zahlenfolge {bn} sind gleichgroß. Sie betragen d (d > 0, d ¹ 1).
Es sei a1 = b1, a3 = 3b3 und a5 = 5b5. Berechne an und bn.

(Aufgabe 23) (14 Punkte)
Zwei Punkte A und B bewegen sich auf der Parabel y2 = 4x. Der Ursprung sei dabei
ausgenommen. Es sei OA ^ OB und OM ^ AB (siehe Zeichnung)
Ermittle die Gleichung der Kurve, auf der sich der Punkt M bewegt.
Erkläre, um was für eine Kurve es sich handelt.


(Übersetzung Dr. B. Zhang; sonstige Bearbeitung B. Westermann)