brlogo
untitled
   
   
   
   
 

Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Frankreich: Abiturprüfung ES 1998 (Wirtschafts- und sozialwissenschaftliches Profil)

Aufgabe 1 (für Grund- und Erweiterungskurs)

es98-1.gif (21322 Byte)

In einem orthogonalen System (Längeneinheiten: x-Achse 1cm, y-Achse 2cm) betrachte man obige Kurve, die eine auf [0;7] definierte und differenzierbare Funktion darstellt.

(Sämtliche Antworten auf die folgenden Fragen erhält man aus der Grafik.)

  1. Lesen Sie ab: f(0), f(2), f '(1), f '(). (1 Punkt)
  2. Bestimmen Sie das Vorzeichen der Funktion f und ihrer Ableitung f '. (1 Punkt)
  3. Bestimmen Sie die logarithmische Ableitung in 0. (1 Punkt)
  4. Geben Sie auf eine Dezimale genau die Lösungen der Gleichung f(x) = 1 an. (1 Punkt)
  5. Es sei .
    Geben Sie unter den folgenden Intervallen dasjenige an, das die Zahl I enthält
    (Schildern Sie kurz, wie Sie an das Ergebnis gekommen sind.): [0;[, [;2[, [2;5[, [5;10[. (1 Punkt)

Aufgabe 2 (Grundkurs)

Ein Geschäft verkauft zwei verschiedene Arten von Handys: Standardhandys und Minihandys.
Außerdem bietet es auch zwei verschiedene Arten von Monatsabonnements an: das Abonnement von einer Stunde und das Abonnement von 2h 30min.
Ein Marketingservice veranstaltet eine Umfrage in einer Stichprobe von 2000 Kunden, die im laufenden Jahr in diesem Geschäft eine der beiden Handyarten gekauft haben und die eines der beiden Abonnements gewählt haben.

Von den 2000 befragten Kunden haben 1200 das Standardhandy gekauft.
Von den 2000 Kunden haben 960 eine Stunde abonniert.

Ein Kunde werde zufällig aus der Stichprobe herausgenommen.

Es seien folgende Bezeichnungen für Ereignisse gegeben:

S: "Der Kunde hat das Standardhandy gekauft."
M: "Der Kunde hat das Minihandy gekauft."
A1: "Der Kunde hat eine Stunde abonniert."
A2: "Der Kunde hat 2h 30min abonniert."
Mit p(E) wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E bezeichnet.

Die Ergebnisse sollen in Dezimalschreibweise mit 3 Stellen nach dem Komma angegeben werden.

  1. Bestimmen Sie p(S), p(M), p(A1). (1 Punkt)
  2. Von den Kunden, die das Standardhandy gekauft haben, nehmen 32% das Abonnement A1.
    1. Stellen Sie diesen Sachverhalt mit Wahrscheinlichkeiten dar. (0,5 Punkte)
    2. Leiten Sie daraus die Wahrscheinlichkeit ab, ein Standardmodell gekauft und Abonnement A1 gewählt zu haben. (1 Punkt)
    3. Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit, das Minihandy und Abonnement A1 gewählt zu haben, 0,288 beträgt. (1 Punkt)
  3. Das Standardhandy kostet 1000 F und das Minihandy 3000 F. Das Abonnement A1 kostet 170 F pro Monat und das Abonnement A2 400 F pro Monat. Die Zufallsvariable X bezeichne die jährlichen Gesamtkosten für den Kauf eines Handys und das gewählte Abonnement für einen zufällig ausgewählten Kunden.
  1. Schreiben Sie die folgende Tabelle ab und vervollständigen Sie sie, indem Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X angeben und diese begründen. (1 Punkt)
xi 3040 5800
P(X = xi) 0,192 0,288
  1. Berechnen Sie den Erwartungswert von X und interpretieren Sie ihn. (0,5 Punkte)

Aufgabe 2 (Erweiterungskurs)

Die Hersteller von Laptops verkaufen ihre Geräte in einem bestimmten Jahr n zum Preis Pn.

Die angebotenen Mengen On hängen vom Preis Pn-1 des Vorjahres (n-1) ab, was damit zusammenhängt, dass die Produktion Zeit braucht, um zu reagieren.
Die Nachfrage Dn hängt vom Preis Pn im Jahr n ab.
Die Hersteller streben das Gleichgewicht auf dem Markt an, d.h. dass in jedem Jahr On = Dn gilt, damit keine Lagerbestände entstehen.
Es gelte nun:

Die Einheit von Pn sei 1000 F und die Einheit von On und Dn 100 Stück.

  1.  
  1. In der folgenden Zeichnung sind die Geraden zu folgenden Gleichungen dargestellt:
    .
    Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden. (0,5 Punkte)

    es98-2.gif (10790 Byte)
  2. Es sei P0 = 15. Bestimmen Sie den Wert von O1; O1 ist in der Zeichnung eingetragen. Angebot und Nachfrage sollen jedes Jahr gleich groß sein, daher gilt insbesondere O1 = D1. Durch D1 erhält man in der Zeichnung P1. Dieser Preis P1 bestimmt ein Angebot O2, das genauso groß wie D2 sein soll. Dieser Wert bestimmt wieder den Preis P2; Stellen Sie diesen Preis in der Zeichnung dar und dazu noch P3 und P4. (1 Punkt)
    Kann man eine Vermutung über den Grenzwert der Folge (Pn) aufstellen? (0,25 Punkte)
  1.  
  1. Weisen Sie nach, dass unter der Annahme, dass On = Dn erfüllt ist, folgende Gleichung gilt:
    (0,5 Punkte)
  2. Es sei (un) die Folge mit un = Pn - 30 (für n 0).
    Zeigen Sie, dass (un) eine geometrische Folge ist.
    Geben Sie das erste Glied und den Quotienten der Folge an. (1,25 Punkte)
  3. Geben Sie (un) als Funktion von n an, und zeigen Sie, dass (0,5 Punkte)
  4. Zeigen Sie, dass .
    Bestimmen Sie nun den Grenzwert P der Folge (Pn).
    Wie groß sind für diesen Gleichgewichtspreis P das Angebot und die Nachfrage? (1 Punkt)

Problem (für Grund- und Erweiterungskurs)

Die folgende Tabelle gibt die Bevölkerungsentwicklung in einem Land von 1950 bis 1985 an.
ti gibt die Anzahl der Jahre seit 1950 und pi die Bevölkerung in Mio. Einwohnern an.

Jahr 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985
ti (Anzahl der Jahre nach 1950) 0 5 10 15 20 25 30 35
pi 8 8,9 9,9 11 12 13,5 15 16,6

A. Auswertung der Daten - Untersuchung eines Modells

  1. Stellen Sie die Punktwolke M (ti;pi), die zu obiger Statistik gehört, in einem orthogonalen Koordinatensystem dar.
    Wählen Sie dabei auf der x-Achse 2cm für 5 Einheiten (d.h. für 5 Jahre). Setzen Sie die Zahl 8 auf der x-Achse an den Anfang und nehmen Sie dann 2cm pro Einheit (d.h. für 1 Mio. Einwohner). (1 Punkt)
  2. Die Experten versuchen für diese Entwicklung eine Funktion als Modell anzugeben, deren Graph nahe bei der Punktwolke liegt. Sie setzen: yi = ln pi .
    1. Geben Sie einen Näherungswert für den linearen Korrelationskoeffizienten r zur Folge (ti;yi) an (auf 3 Dezimalen genau). (0,25 Punkte)
    2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Regressionsgerade an, wobei y von t abhängig ist   (Koeffizienten auf 3 Dezimalen genau). (0,75 Punkte)
    3. Leiten Sie daraus eine Formel für die Bevölkerung p in Abhängigkeit von der Anzahl t der Jahre seit 1950 her. (1 Punkt)

B. Untersuchung des exponentiellen Modells

Man nehme an, dass die Funktion f mit für ein hinreichend gutes Modell für die Bevölkerungsentwicklung (in Mio. Einwohnern) von 1950 bis 1985 ist.

  1. Untersuchen Sie das Steigungsverhalten von f für [0;35], und geben Sie eine vollständige Übersicht über das Steigungsverhalten von f in diesem Intervall.
    (1,5 Punkte)
  2. Zeichnen Sie den Graphen von f (Bezeichnung: C) sorgfältig in das Koordinatensystem von Aufgabe A. Was beobachten Sie? (1 Punkt)
  3. Man setze . Bestimmen Sie den Wert auf 2 Dezimalen genau. Ermitteln Sie damit den Bevölkerungsdurchschnitt des Landes für die 35 Jahre, und stellen Sie ihn in der Zeichnung dar. (1,25 Punkte)
  4. Berechnen Sie den Quotienten und interpretieren Sie ihn mit Begriffen aus der Prozentrechnung. (1,75 Punkte)
  5. In welchem Jahr würde die Bevölkerung 19 Millionen übersteigen, wenn das exponentielle Modell auch nach 1985 gültig bliebe? (1,5 Punkte)

(Übersetzung Bernd Westermann)