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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Frankreich: Abiturprüfung ES 2000 (Wirtschafts- und sozialwissenschaftliches Profil )

Vorbemerkung: Es gibt im französischen Abitur in Mathematik unterschiedliche Aufgaben für die drei Profile S (mathematisch-naturwissenschaftlich), ES (Wirtschaft- und Sozialwissenschaften) und L (literarisch). Die Aufgaben für das Profil ES wurden ausgewählt, weil in ihnen der Trend des Einbettens mathematischer Aufgabenstellungen in außermathematische Kontexte, wie er auch im neuen Lehrplan NRW angesprochen wird (siehe S.13), deutlich wird.
Im Abitur werden von den ES-Schülern Kenntnisse in Statistik und Analysis gefordert, wie die folgenden Beispielaufgaben zeigen. Es gibt zunächst 2 Aufgaben (Exercice) und dann ein Problème, das in Teil A und B gegliedert ist. Der Aufbau der Aufgaben ist dabei ähnlich wie bei uns in Deutschland.

Exercice 1 (4 von 20 Punkten)

Die folgende Tabelle, die 1999 in einer Wirtschaftszeitschrift veröffentlicht wurde, gibt den Anteil der Teilzeitbeschäftigten unter den Beschäftigten an. Die Werte für 2000 und 2004 sind geschätzt.

Jahr xi

1980

1985

1990

1995

1997

2000

2004

Anteil der Teilzeit- beschäftigten in %: yi

8,3

11

12

15,6

16,8

18

20

Man betrachte die Wertepaare (xi, yi) für 1980 ≤ xi ≤ 1997.
Die Rechnungen sind mit dem Taschenrechner durchzuführen.

  1. Stellen Sie die Punktewolke zu (xi, yi) für 1980 ≤ xi ≤ 1997 in einem rechtwinkligen
    Koordinatensystem dar. Nehmen Sie 1 cm für einen Anteil von 2% auf der y-Achse
    und 2 cm für 5 Jahre auf der x-Achse.
    Nehmen Sie dabei (1980;0) als Ursprung. (1 Punkt)
  2. Berechnen Sie die Koordinaten von G, dem Schwerpunkt der Punktwolke (xi, yi)
    (0,5Punkte)
  3.  
    1. Bestimmen Sie auf 3 Dezimalen genau den Korrelationskoeffizienten zu den
      Wertepaaren (xi, yi).
      Ist es gerechtfertigt, den Zusammenhang durch eine lineare Funktion anzugeben?
      (0,5Punkte)
    2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Regressionsgeraden mit der Methode der kleinsten
      Quadrate (a und b auf 3 Dezimalen genau).
      Tragen Sie die Gerade in die Zeichnung ein. (1 Punkt)
    3. Ist es denkbar, dass die Prognosen der Zeitschrift für 2000 und 2004 mit der Gleichung
      ermittelt wurden, die sich in Aufgabe 3.b. ergibt? (1 Punkt)

Exercice 2 (5 von 20 Punkten) 

Problème (11 von 20 Pkt.) / Teil A

  1. Es sei die Funktion Cm auf [0;6] definiert durch Cm (q) = 0,8 + 4(1-2q)e-2q.
    Diese Funktion beschreibt die täglichen Grenzkosten eines Betriebes, der ein
    chemisches Produkt in flüssiger Form herstellt. Die Flüssigkeitsmenge q wird in 1000
    Litern und Cm(q) in 1000 Franc angegeben. Geben Sie eine Übersicht über das
    Steigungsverhalten von Cm, und stellen Sie dabei den Wert von Cm(1) in der Übersicht
    dar. Leiten Sie daraus das Vorzeichen von Cm(q) über [0;6] her. (2 Punkte)
  2.  
    1. Zeigen Sie, dass die Funktion g, definiert in [0;6] durch g(q) = 4qe-2q, die Ableitung
      g' (q) = 4(1-2q)e-2q hat. (0,5Punkte)
    2. Die Grenzkosten sind gleich der Ableitungsfunktion der Gesamtkosten. Unter der
      Voraussetzung, dass die Fixkosten CT(0) tausend Franc betragen, bestimmen Sie die
      Funktion CT(q), die die Gesamtkosten als Funktion von q angibt. (1Pkt)
  3.  
    1. Bestimmen Sie das Steigungsverhalten von CT(0) auf [0;6] unter Verwendung von
      Aufgabe 1. (0,5 Pkt.)
    2. Stellen Sie die Gesamtkostenfunktion in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
      (O; i; j) dar. (1 Pkt.)

Problème Teil B

Der Verkaufspreis der Flüssigkeit beträgt 1,80 F pro Liter. Die Tagesproduktion wird immer
vollständig verkauft.

  1.  
    1. Stellen Sie in obiger Zeichnung die Funktion dar, die die Tageseinnahmen angibt.
      (0,5 Pkt).
    2. Zeigen Sie, dass sich als Gewinn B(q) ergibt: B(q) = q – 1- 4qe-2q. (0,5 Pkt.)
  2. Es sei die Funktion h auf [0;6] definiert durch h(q) = 1,8 - Cm (q).
    1. Untersuchen Sie das Steigungsverhalten von h unter Verwendung des
      Steigungsverhaltens von Cm . (1 Pkt.)
    2. Zeigen Sie, dass die Gleichung h(q) = 0 auf [0;1] eine einzige Lösung a hat. (a muss
      nicht berechnet werden.) (1 Pkt.)
    3. Leiten Sie daraus, das Vorzeichen von h(q) auf [0;6] her. (1 Pkt.)
  3.  
    1. Bestimmen Sie das Steigungsverhalten von B unter Verwendung der vorstehenden
      Aufgabe. (1 Pkt.)
    2. Bestimmen Sie auf zwei Dezimalen genau den Wert von B(a ) für a = 0,28. Welche
      Bedeutung hat dieser Wert für die Firma? (1 Pkt.)

(Übersetzung Bernd Westermann)