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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Frankreich: Abiturprüfung L 1998 (sprachliches Profil)

Aufgabe 1

Ein Unternehmen führt zu einem neuen Produkt eine Marktstudie unter 10000 Personen durch. In der Stichprobe sind 40% der Personen unter 20 Jahre alt, wovon 20% an dem Produkt interessiert sind. Dagegen sind nur 10% der Personen über 20 Jahre an dem Produkt interessiert.

  1. Eine Person wird zufällig aus der Stichprobe ausgewählt.
    1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie älter als 20 Jahre? (1 Punkt)
    2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie älter als 20 Jahre und hat Interesse an dem neuen Produkt? (1 Punkt)
    3. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person am Produkt interessiert ist, 0,14 beträgt. (1 Punkt)
  2. Man wähle eine Person aus, die für das Produkt interessiert ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie älter als 20 Jahre? (auf 3 Dezimalen genau) (1 Punkt)

Aufgabe 2

Ein Appartement wird von seinem Besitzer vom 1.Januar 1990 an zu einer anfänglichen Jahresmiete von 30000 F angeboten. Der Besitzer wägt zwischen zwei Verfahren zur Mieterhöhung ab:

  1. Beim ersten Verfahren beträgt die Mieterhöhung jährlich 3%. Pn bezeichne die Jahresmiete im Jahr (1990 + n). P0 ist damit gleich 30000.
    1. Berechnen Sie P1 und P2. (1 Punkt)
    2. Zeigen Sie, dass Pn eine geometrische Folge ist. Bestimmen Sie den Quotienten der Folge.
      Drücken Sie Pn als Funktion von n aus. (1,5 Punkt)
    3. Wie hoch ist die Jahresmiete im Jahr 2005 (auf Franc gerundet)? (0,5 Punkte)
    4. In welchem Jahr überschreitet die Miete das Doppelte der Anfangsmiete? (1 Punkt)
    5. Welche Summe wird der Eigentümer nach den ersten 20 Jahren erhalten haben? Geben Sie den Betrag auf 1000 F gerundet an. (1 Punkt)
  2. Beim zweiten Verfahren steigt die Jahresmiete jedes Jahr um 1000 F. Welche Summe erhält der Eigentümer nunmehr in den ersten 20 Jahren? (1 Punkt)

Problem

(Stellen Sie sorgfältig die Zwischenergebnisse dar, die zu den Endresultaten führen.)

Im folgenden Problem geht es um die Untersuchung der Funktion f, die auf R definiert ist:

Teil A: Untersuchung einer Hilfsfunktion

g sei die Funktion , die auf R durch definiert ist.

  1. Geben Sie eine Übersicht über den Verlauf von g und g'. (Die Grenzwerte sind dabei nicht verlangt.) (1 Punkt)
  2. Leiten Sie daraus das Vorzeichen von g(x) für alle reellen x ab. (0,5 Punkte)

Teil B: Untersuchung der Funktion f

Es bezeichne C den Graphen von f in einem orthonormalen System .

  1.  
    1. Bestimmen Sie die Grenzwerte von f für und . (1,5 Punkte).
    2. Zeigen Sie, dass die Gerade g zu Asymptote zum Graphen C für ist.
      Wie liegen C und g zueinander? (1,5 Punkte)
  2. Berechnen Sie nun f'(x) und geben Sie eine Übersicht über den Verlauf von f und f'. (1 Punkt)
  3. Zeigen Sie, dass die Gleichung f(x) = 0 im Intervall [0;1] genau eine Lösung x0 hat, und leiten Sie daraus die Anzahl der Lösungen für diese Gleichung in R her. Begründen Sie, dass 0,4 < x0 < 0,5 ist. (1,5 Punkte)
  4. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes A auf dem Graphen C, in dem die Tangente an den Graphen parallel zur Asymptote g ist. (1 Punkt)
  5. Zeichnen Sie für die Gerade g, die Tangente in A und den Graphen C
    (Längeneinheiten: 2cm auf der x-Achse und 1cm auf der y-Achse). (1 Punkt)
  6. Bestimmen Sie mit partieller Integration das Integral . (1 Punkt)

(Übersetzung Bernd Westermann)