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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Wiskunde A in den Niederlanden
von B. Westermann - Luise-von-Duisberg-Gymnasium Kempen

Vorbemerkungen: Die nachstehende Aufgabe verdeutlicht wieder einige Kennzeichen der Abituraufgaben von Wiskunde A. Der Aufgabentext ist durch die Schilderung der Kontexte lang, es handelt sich um Mathematik aus dem Alltag mit sinnvollen Problemen, es kommen viele Grafiken vor, die Formeln aus dem Sachgebiet werden einfach angegeben, die Rechnungen sind nicht umfangreich.

Niederlande / Centraalexamen 2000
Wiskunde A (1.Termin)

Aufgabe 4: Der Aufschlag

In Sportarten wie Volleyball und Tennis ist der Aufschlag sehr wichtig, d.h. die Art und Weise wie der Ball ins Spiel gebracht wird. Wir betrachten im Folgenden den Aufschlag beim Tennis.
Der Spieler steht beim Aufschlag 12 m vom Netz entfernt. Das Netz ist 1 m hoch. Wir nehmen an, dass der Spieler den Ball in einer Höhe von 2,50 m über dem Boden trifft und zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass der Spieler den Ball genau in die Längsrichtung des Spielfeldes schlägt.
Auf dem Foto und in der Abbildung 3 siehst Du eine mögliche Bahn des Balles.


Abbildung 3

Die Höhe (in Metern) des unteren Ballrandes über dem Erdboden nennen wir h. Den horizontalen Abstand (in Metern) nennen wir a. Der Zusammenhang zwischen a und h hängt von der Geschwindigkeit ab, mit der der Ball geschlagen wird, und von der Anfangsrichtung. Die Anfangsrichtung wird durch den Aufschlagwinkel angegeben. Das ist der Winkel, unter dem der Ball geschlagen wird. Siehe hierzu Abbildung 3.

Gehe in Frage 16 davon aus, dass der Ball in einem Winkel von 15° und einer Geschwindigkeit von v m/sec geschlagen wird. Bei diesem Winkel gilt näherungsweise folgender Zusammenhang zwischen a und h:

Frage 16 (5 Punkte)
Ein Spieler schlägt den Ball mit einer Geschwindigkeit von 17 m/sec. Ermittle die größte Höhe über dem Erdboden, die dieser Ball erreicht.


Vereinfacht sprechen wir von einem gültigen Aufschlag, wenn

  • der aufschlagende Spieler 12 m vom Netz entfernt steht,
  • der Ball genau in die Längsrichtung des Feldes geschlagen wird,
  • der Ball über das Netz geht, ohne es zu berühren, und
  • der Ball höchstens 7 m hinter dem Netz herunterkommt.

In einem Artikel über dieses Thema stand die folgende Abbildung. In dieser Abbildung 4 hat man dargestellt, bei welchen Kombinationen von Aufschlagwinkel und Geschwindigkeit ein gültiger Aufschlag erreicht wird. Ein Spieler, der den Ball unter einem Winkel von 30° schlägt, muss gemäß Abbildung 4 den Ball mit einer Geschwindigkeit von ungefähr 11 bis 13 m/sec aufschlagen. Schlägt er zu schwach auf, dann kommt der Ball nicht über das Netz. Schlägt er zu hart auf, dann kommt der Ball zu weit entfernt vom Netz auf den Boden.


Abbildung 4

Frage 17 (4 Punkte)
Ein Profispieler schlage den Ball bei einem gültigen Aufschlag mit einer Geschwindigkeit von 150 km/h. Zeichne in das in der Anlage beigefügte Koordinatensystem die Anfangsrichtung einer möglichen Bahn dieses Balles. Begründe Deine Antwort mit Abbildung 4.

Nimm in Frage 18 und 19 an, dass der Ball unter einem Winkel von 10° geschlagen wird. Bei diesem Winkel gilt näherungsweise folgende Formel für den Zusammenhang von a und h:

Bei einem gültigen Aufschlag muss der Ball über das Netz gehen, ohne es zu berühren. Die Geschwindigkeit ist zu niedrig, wenn in obenstehender Formel bei einem Abstand von a = 12 die Höhe h ≤ 1 ist. Nach Abbildung 4 ist eine Geschwindigkeit von 16 m/sec oder weniger zu niedrig für einen gültigen Aufschlag. Mit einer Rechnung ist jedoch nachzuweisen, dass die Abbildung hier sehr ungenau ist.

Frage 18 (6 Punkte)
Welche Geschwindigkeiten (in m/sec) sind entsprechend der Formel zu niedrig für einen gültigen Aufschlag? Gib die Antwort mindestens auf eine Dezimale genau. Begründe Deine Antwort mit einer Rechnung.

Bei einem gültigen Aufschlag muss der Aufschlag mindestens 7 m hinter dem Nutz auf den Boden kommen. Aus dieser Forderung folgt auch eine Bedingung für v.

Frage 19 (2 Punkte)
Welche Zahlen musst Du in obenstehende Formel einsetzen, um diese Bedingung zu erhalten. Begründe Deine Antwort.


Anlage

(Übersetzung Bernd Westermann)