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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Wiskunde A in den Niederlanden
von B. Westermann - Luise-von-Duisberg-Gymnasium Kempen

Vorbemerkungen zu den niederländischen Zentralabituraufgaben in Wiskunde A:

Es werden vier Aufgaben gestellt, die in insgesamt drei Zeitstunden zu bearbeiten sind.

Es stehen also pro Aufgabe im Durchschnitt 45 Minuten Zeit zur Verfügung. Die zu lesenden Texte sind oft recht umfangreich. Der Rechenaufwand ist andererseits möglichst gering gehalten.

Niederlande / Centraalexamen 1998
Wiskunde A (1.Termin)

Aufgabe 3: Straßenbeleuchtung

Eine wichtige Anforderung, die an Straßenbeleuchtung gestellt wird, ist, daß es überall entlang des erleuchteten Weges ungefähr gleich hell ist, und daß es nicht z.B. mitten zwischen zwei Straßenlaternen viel dunkler ist als unter einer Laterne.
Um anzugeben, wie hell es an einer bestimmten Stelle ist, gebraucht man den Begriff Beleuchtungsstärke (gemessen in Lux).

Für einen neu anzulegenden Weg hat man verschiedene Möglichkeiten für den Abstand von zwei aufeinanderfolgende Laternen untersucht. Für eine Anzahl von Punkten zwischen zwei Laternen hat man die Beleuchtungsstärke berechnet. Hierbei bedeutet a den Abstand zwischen zwei Laternen (in Metern), und x gibt an, wieviel Meter man von einem Punkt genau unter einer der Laternen entfernt ist. Siehe hierzu die folgende Abbildung 2:

g2.gif (2522 Byte)

Die Ergebnisse der Berechnungen zeigt die nachfolgende Tabelle 1:

a

6 8 10 12 14 16 18 20
x
0 321,1 245,4 199,7 170,5 151,2 138,0 128,8 122,3
1 321,2 245,2 199,3 169,8 150,2 136,9 127,6 121,0
2 321,2 244,8 198,0 167,8 147,6 133,7 124,1 117,3
3 321,2 244,3 196,5 165,0 143,8 129,2 119,0 111,7
4 321,2 244,1 195,3 162,4 139,7 124,0 113,0 105,2
5 321,2 244,3 194,8 160,4 136,1 119,0 106,9 98,4
6 321,1 244,8 195,3 159,7 133,7 114,9 101,6 92,1
7 245,2 196,5 160,4 132,8 112,3 97,4 86,8
8 245,4 198,0 162,4 133,7 111,4 94,8 82,8
9 199,3 165,0 136,1 112,3 93,9 80,4
10 199,7 167,8 139,7 114,9 94,8 79,5
11 169,8 143,8 119,0 97,4 80,4
12 170,5 147,6 124,0 101,6 82,8
13 150,2 129,2 106,9 86,8
14 151,2 133,7 113,0 92,1
15 136,9 119,0 98,4
16 138,0 124,1 105,2
17 127,6 111,7
18 128,8 117,3
19 121,0
20 122,3

Nach Tabelle 1 sorgt das Aufstellen von Laternen mit einem Abstand von sechs Metern für eine ideale gleichmäßige Beleuchtung. Das ist jedoch ökonomisch nicht machbar.

Der Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der Beleuchtungsstärke sollte aber nicht mehr als 20% des größten Wertes betragen.

Frage 10 (4 Punkte):

Welche Werte von a in Tabelle 1 erfüllen diese Bedingung? Begründe Deine Antwort.

Die Werte von Tabelle 1 wurden ermittelt, indem zuerst berechnet wurde, wie groß die Beleuchtungsstärke ist, die jede Lampe einzeln an einer bestimmten Stelle liefert, und danach wurden die Ergebnisse addiert.
Zur Berechnung der Beleuchtungsstärke einer einzigen Lampe gebraucht man das folgende Modell. Ausgangspunkt ist eine Laterne, die 10 m über der Straße hängt, und deren Licht sich nach unten in alle Richtungen ausbreiten kann. Siehe hierzu Abbildung 3:

g4.gif (6482 Byte)

Den Abstand der Lampe zu einem Punkt P auf der Straßendecke bezeichnen wir mit r (in Metern). Die Beleuchtungsstärke im Punkt P nennen wir S (in Lux). Für S gilt:

S = 100 000 / r 3

Punkt A befindet sich genau unter der Lampe, x ist der Abstand in Metern zwischen Punkt A und Punkt P.

Frage 11 (5 Punkte):

Berechne x für den Fall, daß die Beleuchtungsstärke in P halb so groß ist wie in A. Runde das Ergebnis auf ganze Dezimeter.

Man kann S auch als Funktion von x auffassen. Die Ableitung dS / dx ist ein Maß für die Veränderung der Beleuchtungsstärke (in Lux/Meter), wenn man sich auf der Straße von Punkt A entfernt. Es gilt:

g3.gif

Frage 12 (5 Punkte):

Zeige, daß diese Gleichung gilt.

g5.gif (4394 Byte)

In Abbildung 4 ist der Graph von S als Funktion von x gezeichnet.
Jemand fragt sich, ob es einen Punkt gibt, wo dS / dx kleiner ist als -8 Lux/Meter.
Er versucht vergeblich diese Frage durch das Auflösen einer Gleichung zu beantworten. Mit Hilfe von Abbildung 4 und der Gleichung von dS / dx läßt sich recht schnell beweisen, daß es einen solchen Punkt gibt.

Frage 13 (3 Punkte):

Weise das nach.

(Übersetzung Bernd Westermann)