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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Praktische Opdrachten - die niederländische Facharbeit
Susanne Hanslik (Essen)

Beispielaufgaben

Im Folgenden sind zwei "Praktische Aufträge" übersetzt, die am Ende des zweiten Kapitels vom vwo1-Buch für die Klasse 10 stehen. Sie sind sicher noch als einfache Aufträge anzusehen, sie sollten in eine schriftliche Ausarbeitung, eine den Schülern schon vertraute Präsentationsform münden. Der mathematische Gehalt ist noch nicht so schwierig, dass die Schüler die neue Anforderungssituation bewältigen können.

4.1

aus vwo1, § 2.7, S.94

Das Pascalsche Dreieck

Das Zentrum "Frauen und Exakte Fächer" hat ein Plakat zum Pascalschen Dreieck herausgegeben. Zusätzlich zu einigen Eigenschaften, die schon im Kapitel 2 (des Buches vwo1) behandelt worden sind, ist auf diesem Poster noch sehr viel mehr zu entdecken.

Auftrag

Untersuche, welcher mathematische Reichtum auf diesem Plakat ins Bild gesetzt wurde. Gehe jedem Aspekt ausführlich nach. Fasse das Ganze in einem kleinen Heft zusammen, das dem Plakat beigefügt werden soll. Die Erklärungen in diesem Heft müssen so klar formuliert sein, dass sie für alle Klassenkameraden verständlich sind.

4.2

aus vwo1, § 2.7, S.95

Der PIN-Code

Elektronische Zahlungsmittel nehmen zu.

Heutzutage hat jeder wenigstens eine P(ersönliche)I( dentifizierungs-)N(ummer). Wie sicher ist der PIN-Code? Sind die neuen Bezahlungsmethoden tatsächlich eine Verbesserung für den Verbraucher?

Auftrag

Verfasse einen Bericht über den PIN-Code, in dem du verschiedene Aspekte beleuchtest. Folgende Gesichtpunkte sollten bearbeitet werden:

  • Was sind die Vor- und Nachteile des PIN-Gebrauchs?

  • Ist die Verwendung von 4 Ziffern ausreichend sicher?

  • Wie kann man seine PIN-Nummer(n) behalten?

4.3

Eine weitere Aufgabe ist in dem Band vwo NG/NT 4. Das Buch ist für Schüler der Profile Natur und Gesundheit und Natur und Technik im 5. Jahr geschrieben. Stoff und Schwierigkeitsgrad sind in etwa einem Leistungskurs im 12. Schuljahr vergleichbar.

Das Kapitel 2 ist überschrieben "die abgeleitete Funktion" und enthält u.a. die Unterpunkte:

  • Geschwindigkeitsformeln
  • Tangente und Ableitung
  • Steigen, Fallen und Extremwerte
  • Ableitungsregeln
  • Anwendungen der Ableitung

Im Anschluss daran findet sich der praktische Auftrag "Die schnellste Route":

aus vwo NT/NG 4, § 2.8, S.85

Die schnellste Route

Ein Jogger trainiert am Strand. Er läuft über den festen Sand entlang der Wasserlinie. In der Ferne sieht er den Dünenübergang, über den er zurück muss. Wenn er den lockeren Sand schräg überquert, legt er einen kürzeren Weg zurück, als wenn er über den harten Sand weiterläuft, bis er auf Höhe des Dünenübergangs ist und dann den weiche Sand überquert. Aber im lockeren Sand ist seine Laufgeschwindigkeit geringer als im festen Sand dichter am Wasser. Es gibt einen Weg, der ihn am schnellsten zum Dünenübergang führt. Die Frage ist nun, wie viele Meter vor dem Übergang er in den lockeren Sand laufen muss.

Auftrag

  • Nimm an, dass der Jogger auf dem festen Sand 15 km/h und im lockeren Sand 10 km/h läuft. Zusätzlich sei der Streifen weicher Sand 80 m breit.
    Berechne für diese Situation, wie weit vor dem Übergang der Läufer in den weichen Sand wechseln muss, um schnellstmöglich zum Übergang zu gelangen. Verwende hierbei die Differentialrechnung.
  • Berechne auch für andere Laufgeschwindigkeiten und Breiten des Sandstrandes die schnellste Route.
  • Nimm an, dass es zwei verschiedene Streifen mit weichem Sand gibt, jeder mit einer eigenen Breite und unterschiedlichen Laufgeschwindigkeiten. Untersuche für einige Situationen, wie die schnellste Route jeweils verläuft.
  • Dieses Problem kommt in einem anderen Kontext bei Jaques Ozanan in seinem Buch Recreations in Mathematics and Natural Philosophy im 18. Jahrhundert vor. Ermittle, welcher Zusammenhang hier angesprochen ist.
  • Entwirf selbst einige Bedingungen, unter denen dieses Problem auftreten kann.
  • Diese Fragestellung hat mit dem Gesetz von Snellius zu tun. Erläutere und formuliere eine Lösung für das Problem des Joggers mit Hilfe des Satzes von Snellius. Bearbeite das Problem mit geometrische Konstruktionen.

Löse ebenso die anderen Probleme, die du entworfen hast, mittels geometrischer Konstruktionen.

4.4

Der folgende praktischer Auftrag stammt aus dem Buch havo CM/EM 2. Dies ist das zweite Buch für das vierte Jahr für diejenigen havo-Schüler, die die Gesellschaftsprofile gewählt haben, also weniger Mathematik in ihrem Fächerpaket haben und eher angewandte Probleme zu lösen lernen. So sind diese Schülergruppen vielleicht am ehesten mit Grundkursen, die stark auf Anwendungen orientiert sind, zu vergleichen. Der vierte Jahrgang ist für die havo das vorletzte Schuljahr, entsprechend unseres 11. Schuljahres, wenn man den havo-Abschluss dem Fachabitur vergleichen will. Inhaltlich ist diese Entsprechung aber wohl nicht direkt möglich. Die CM-Schüler schließen das Fach Mathematik mit diesem Jahr ab.

Das vierte und letzte Kapitel des Buches behandelt die Normalverteilung mit den Paragraphen:

  • Mittelwerte
  • boxplot und Quartile
  • Streuungsmaße
  • die Standard-Normalverteilung
  • Standardisieren
  • Anwendungen der Normalverteilung

Es endet wie immer mit einer Übersicht über den Stoff des Kapitels nebst vermischten Aufgaben.

Dann folgen zum Abschluss drei praktische Aufgaben, von denen der erste hier übersetzt ist:

aus havo CM/EM 2,§ 4.9, S.220

Der Intelligenzquotient

Der Begriff "Intelligenzquotient" (IQ) wurde von dem deutschen Philosophen und Psychologen William Stern eingeführt.

IQ = (IA/ LA)×100,

wobei IA das Intelligenz-Alter und LA das Lebensalter bezeichnet.

Hat ein 8-jähriges Kind das Intelligenzalter eines 10-jährigen, so ist der

IQ = (10/ 8) ×100 = 125.

Das Intelligenzalter nimmt bei Kindern mit dem Lebensalter zu. Diese Wachstum ist bei den meisten Menschen um das fünfzehnte oder sechszehnte Lebensjahr abgeschlossen.

Intelligenz ist die Begabung zur Anpassung durch Denkmittel der Reaktionen der Persönlichkeit auf neue und unerwartete Situationen in der Außenwelt.

Das Intelligenzalter wird mit Hilfe von Intelligenztests untersucht. Vor allem die französischen Psychologen Binet und Simon entwickelten um 1900 herum viele solche Tests. Sie erstellten Tests für Drei- bis Fünfjährige. Später wurden auch Tests für Erwachsene entwickelt.

Bis ungefähr 1940 dachte man, dass der IQ eine für jede Person konstante Größe sei. In den letzten 15 Jahren ist man zu der Erkenntnis gekommen, dass die Testergebnisse von mehreren Faktoren als ausschließlich der Intelligenz abhängen. Der prognostische Wert des IQ für eine Schul- oder Berufslaufbahn ist jedoch noch immer von großer Bedeutung.

Aufträge

  • Verfasse einen Aufsatz über William Stern und seine Ideen zum Intelligenzbegriff.
  • Suche einige Tests, mit denen der IQ bestimmt werden kann. Führe sie mit Klassenkameraden durch. Versuche dadurch, den IQ deiner Klassenkameraden festzustellen. Gib die dazugehörige Häufigkeitsverteilung an und berechne einige Mittelwerte und Streuungsmaße. Bemühe dich um eine gute graphische Ausarbeitung.
  • Entwirf vier Prüfungsaufgaben für eine Gruppe von Personen, bei denen der IQ normalverteilt ist. Formuliere die Fragen so, dass jede der vier Größen Mittelwert µ, Standardabweichung s, Oberfläche o und Grenzlinie a mindestens einmal berechnet werden müssen.

[Kapitel 3] [Kapitel 5]