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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Wiskunde A in den Niederlanden
von B. Westermann - Luise-von-Duisberg-Gymnasium Kempen

Vorbemerkungen zu den niederländischen Zentralabituraufgaben in Wiskunde A:

Es werden vier Aufgaben gestellt, die in insgesamt drei Zeitstunden zu bearbeiten sind.

Es stehen also pro Aufgabe im Durchschnitt 45 Minuten Zeit zur Verfügung. Die zu lesenden Texte sind oft recht umfangreich. Der Rechenaufwand ist andererseits möglichst gering gehalten.

Niederlande / Centraalexamen 1991
Wiskunde A (1.Termin)

Aufgabe 1: Flevoland

1967 siedelten sich die ersten Einwohner in Lelystad an. Inzwischen ist Lelystad die Hauptstadt von Flevoland geworden, der jüngsten Provinz der Niederlande. Aus Tabelle 1 ist ersichtlich, daß die Einwohnerzahl seit 1967 stark zugenommen hat.

Tabelle 1: Einwohnerzahl von Lelystad zum 1.Januar
(Quelle: Statistischer Jahresbericht, Gemeinde Lelystad)

Jahr Einwohner Jahr Einwohner Jahr Einwohner
1968 914 1975 14179 1982 48177
1969 1902 1976 19001 1983 52251
1970 3112 1977 23212 1984 55259
1971 4543 1978 29256 1985 56567
1972 6620 1979 35520 1986 57592
1973 8404 1980 38970 1987 58663
1974 10591 1981 43256    

(1.Teilaufgabe / 3 Punkte)

Die absolute Zunahme der Einwohnerzahl von Lelystad war am größten im Jahr 1978.

War in jenem Jahr auch die relative Zunahme am größten? Begründe Deine Antwort.

(2.Teilaufgabe / 4 Punkte)

Um zu untersuchen, inwieweit es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, kann man logarithmisches Papier gebrauchen. Trage die Daten von Tabelle 1 in logarithmisches Papier ein.

(3.Teilaufgabe / 3 Punkte)

In welchem Zeitraum von sechs Jahren lag annähernd exponentielles Wachstum vor?

Begründe Deine Antwort.

Das Wachstum von Lelystad wurde stark beeinflußt durch das Arbeitsplatzangebot in der direkten Umgebung, den vor Ort zur Verfügung stehenden Wohnraum und die Wohnraumbeschaffung der ländlichen Behörden, vor allem im Großraum Amsterdam.

Die Gemeinde Lelystad hat diese Faktoren in einem Rechenmodell verarbeitet und sie stellt jedes Jahr eine neue Prognose der Bevölkerungsentwicklung auf sowohl für Lelystad als auch für Flevoland insgesamt.

Tabelle 2 bezieht sich auf die Prognose von 1985.
Die Einwohnerzahlen jeweils zum 1.Januar nach der Prognose von 1985:
(Quelle: Der Arbeitsmarkt in Flevoland; Kloster/Stijnenbosch)

Jahr Lelystad Flevoland Jahr Lelystad Flevoland
1986 58065 130215 1991 64210 182102
1987 59258 140344 1992 65526 191390
1988 60490 150979 1993 66888 200674
1989 61698 161410 1994 68394 210060
1990 62298 171880 1995 70016 219465

(4.Teilaufgabe / 4 Punkte)

Zeige, daß diese Prognose für Flevoland ein annähernd lineares Wachstum ergibt.

Am 1.Januar 1986 wohnen nach dieser Prognose 44.6% der Bevölkerung von Flevoland in Lelystad. Am 1.Januar 1995 sind es nur noch 31.9%.

Ein Beamter will mit einem einfachen Rechenmodell per Computer eine langfristige Prognose für diesen prozentualen Anteil (P). Er schätzt die Einwohnerzahl von Lelystad (L) und von Flevoland (F) mit Formeln für lineares Wachstum.

Er entwirft das folgende Struktogramm; hierbei bedeutet n die Anzahl von Jahren nach dem 1.Januar 1995. So ist n = 1 am 1.Januar 1996.

a6.gif (11256 Byte)

(5.Teilaufgabe / 5 Punkte)

Zeige (z.B. mit Hilfe der Differentialrechnung), daß P nach diesem Modell ständig abnimmt.

(6.Teilaufgabe / 6 Punkte)

Ermittle das erste Jahr, in dem nach diesem Modell am 1.Januar weniger als 25% der Bevölkerung von Flevoland in Lelystad wohnt?

(Übersetzung Bernd Westermann)