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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Wiskunde-Alympiade 1996: Die grüne Welle

Hinweise zum Wettbewerb

Die Wiskunde-Alympiade findet alljährlich an einem Freitag im November interaktiv im Internet statt. An ihr können Teams von Schülern der Wiskunde A teilnehmen. Lösungen können auf einem Simulator an der Universität Utrecht ausprobiert werden. Der Ablauf des Wettbewerbes läßt sich live im Internet mitverfolgen.

Weitere Aufgaben der interaktiven und nicht-interaktiven Wiskunde-Alympiaden aus anderen Jahren können Sie unter der Adresse http://www.fi.ruu.nl einsehen.

Interaktive Wiskunde-Alympiade 1996:
Die grüne Welle

Die nachfolgende Karte stellt ein Straßennetz irgendwo in den Niederlanden dar. Es gibt vier Straßen A, B, C und D. Diese Straßen schneiden sich an fünf Kreuzungen.

Die Straßen sind sehr verkehrsreich und das führt wegen der Irritation der Verkehrsteilnehmer zu Staus.

Die Gemeinde hat sich daher entschlossen, jede Kreuzung mit Ampeln zu versehen. Man will die Ampeln so einstellen, daß sich ein möglichst großer Verkehrsdurchfluß ergibt.

a1.gif (23649 Byte)

Du bist in Dienst gestellt worden, um zu untersuchen, wie die Ampeln eingestellt werden müssen.

Die nachstehende Tabelle gibt die zulässigen Höchstgeschwindigkeiten auf den Straßen an. Außerdem ist die Verkehrsdichte angegeben. Eine Dichte von '1 Auto/10 sec' bedeutet, daß im Durchschnitt alle 10 Sekunden sowohl in der einen als auch in der anderen Richtung ein Auto die Straße entlangfährt.

Straße Höchstgeschw. Verkehrsdichte
A 50 km/h 1 Auto/10 sec
B 50 km/h 1 Auto/15 sec
C 50 km/h 1 Auto/15 sec
D 80 km/h 1 Auto/15 sec

Der Hersteller der Ampeln hat eine Anleitung mitgeschickt, wie die Ampeln eingestellt werden können.

Es folgt ein Auszug aus dieser Anleitung:

Hinweise zur Einrichtung der Ampeln

An einer Kreuzung, an der Ampeln installiert werden, gebe es zwei Fahrtrichtungen, die horizontale Richtung H und die vertikale Richtung V. Nur eine dieser beiden Richtungen kann zu einem bestimmten Zeitpunkt gelb und danach grün haben.

a2.gif (17929 Byte)

Die Ampeln sind einfach einzustellen, indem man für beide Fahrtrichtungen die gewünschte Länge des 'Grün-Intervalles' und des 'Gelb-Intervalles' festlegt.

Die mitgelieferte Software erledigt den Rest. Diese berechnet dann automatisch für jede einzelne Ampel die erforderlichen Zeiten für grün, gelb und rot.

Jede Kreuzung hat einen Zyklus sowohl für die horizontale als auch für die vertikale Richtung. Ein solcher Zyklus besteht aus sechs Phasen. Das läßt sich so darstellen:

  C1 C2 C3 C4 C5 C6
Horizontal rot grün gelb rot rot rot
Vertikal rot rot rot rot grün gelb

Jede Phase hat eine bestimmte Länge:

C1 Alle Ampeln rot = 3 sec
C2 Horizontal: grün ............
C3 Horizontal: gelb > 5 sec
C4 Alle Ampeln rot = 3 sec
C5 Horizontal: grün ............
C6 Horizontal: gelb > 5 sec

Die Länge der Phasen C2, C3, C5 und C6 ist einstellbar.
Die Phasenlängen von C1 und C4 liegen fest.
C3 und C6 haben eine minimale Länge von 5 sec.

Die Rot-Intervalle werden so berechnet:

Horizontales Rot-Intervall = C1 + C4 + C5 + C6
Vertikales Rot-Intervall = C1 + C2 + C3 + C4

Für jede Kreuzung kann man einstellen, ob mit dem horizontalen Zyklus (dieser Zyklus beginnt mit C1) oder mit einem vertikalen Zyklus (dieser Zyklus beginnt mit C4) begonnen werden muß. Um die Kreuzungen miteinander abzustimmen, kann gleichzeitig angegeben werden, wieviel Sekunden nach Beginn der Simulation der gewählte Zyklus starten soll.

(© 1996 Freudenthal Institut. Alle Rechte weltweit vorbehalten.)

Der Mathe-Treff der Bezirksregierung Düsseldorf dankt dem Freudenthal-Institut für die Erlaubnis zur Veröffentlichung dieser Aufgabe.

(Übersetzung B. Westermann)