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Niederlande - Zentralabitur 2005 (1.Termin)

Wiskunde A1,2 / Aufgabe 5: Viel Lachs

Vorbemerkungen

Die folgende niederländische Abituraufgabe „Viel Lachs“ hat einige interessante Aspekte:

  1. Die mathematischen Probleme sind in der Aufgabe – wie in den Niederlanden üblich – in einen außermathematischen Kontext eingefügt („Anwendungsaufgabe“).

  2. Die Aufgabe behandelt das Gebiet „Diskrete dynamische Modelle“. Diese Thematik gehört in den Niederlanden zum Lehrplan des Grundkurses Mathematik (Wiskunde A1,2) und ist bei uns in Deutschland nicht obligatorisch.

  3. Zur Bearbeitung einiger Teilaufgaben ist der Graphische Taschenrechner unumgänglich. Der GTR ist in den Niederlanden seit Einführung des neuen Lehrplans im Jahr 1999 Pflicht.

Die Abiturklausur 2005 umfasste fünf Aufgaben, die in drei Zeitstunden zu bearbeiten waren. Insgesamt konnte ein Schüler maximal 86 Punkte erreichen, davon in der nachfolgenden Aufgabe 19 Punkte.

In den niederländischen Abituraufgaben werden die Teilaufgaben und die Abbildungen fortlaufend nummeriert. Das wurde in der vorstehenden Übersetzung übernommen (also: Frage 17,18, 19 ...  usw.) Die Aufgabe „Viel Lachs“ wurde 2005 zum 1. Abiturtermin gestellt. Der 2. Termin ist für Nachschreiber.

Viel Lachs (Aufgabenstellung)

Der Biologe W. Ricker hat ausführlich die Lachse in kanadischen Flüssen untersucht. Bei jährlichen Zählungen hat sich herausgestellt, dass der Umfang der Lachspopulation stark schwankt. So kommt es vor, dass sich die Population von einem Jahr zum anderen verdoppelt. Wieder ein Jahr später hat sich dann der Umfang mehr als halbiert.

Ricker entwickelte um 1955 ein Modell, das zur Beschreibung dieses Phänomens gut zu gebrauchen ist. In dieser Aufgabe untersuchen wir das Modell:

P(t) = 9 · P(t) · 0,99P(t) mit dem Startwert P(0)

In dieser Rekursionsgleichung bezeichnet t die Anzahl der Jahre nach 1984 (der Zeitpunkt t = 0 ist also der 1. Januar 1984) und P(t) die Anzahl der Lachse (in Tausend) zu Beginn des betreffenden Jahres.

Wir setzen P(0) = 25.

Frage 17 (4 Punkte):

Berechne, um wie viel Prozent der Umfang der Lachspopulation von Anfang 1986 bis Anfang 1987 gesunken ist.

Abbildung 4

Abbildung 4 zeigt den Graphen von  y = 9 · x · 0,99x und den Graphen von  y = x. Die Graphen befinden sich außerdem - vergrößert – auf Deinem Arbeitsblatt.

In der Abbildung kann man sehen, dass das Modell zwei Gleichgewichtswerte hat. Einer davon ist P(t) = 0.

Frage 18 (3 Punkte):

Berechne den zweiten Gleichgewichtswert.

Wenn wir als Startwert den Gleichgewichtswert nehmen, dann hat die Folge P(0), P(1), P(2) ... immer denselben (Gleichgewichts)wert.

Ein Gleichgewichtswert heißt stabil, wenn bei einer Wahl des Startwertes in der näheren Umgebung des Gleichgewichtswertes gilt: die Folge P(0), P(1), P(2) ... geht gegen den Gleichgewichtswert.

Frage 19 (5 Punkte):

Untersuche mit einem Spinnengewebe-Graphen in der Abbildung auf Deinem Arbeitsblatt, ob der zweite Gleichgewichtswert des Modells stabil ist.

Die Entwicklung der Population hängt nach diesem Modell vom Startwert P(0) ab. Es ist möglich, den Startwert so zu wählen, dass die Population bereits im folgenden Jahr ihre maximale Größe erreicht. 

Frage 20 (3 Punkte):

Berechne bei welchem Startwert das der Fall ist.

Wenn wir wieder mit 25000 Lachsen beginnen (also P(0) = 25), werden es nach einem Jahr 175000 Lachse sein (also P(1) = 175). Wenn man in den folgenden Jahren jeweils zum Jahresbeginn 150000 Lachse fängt, wird sich jeweils dieselbe Situation ergeben: das Modell ergibt 25000 Lachse zum Jahresbeginn und 175000 Lachse am Jahresende. Wir sagen daher, dass der Startwert  P(0) = 25 dafür sorgt, dass man jedes Jahr 150000 Lachse fangen kann, denn P(1) = P(0) + 150.

Es gibt noch einen anderen Startwert, der dafür sorgt, dass man jedes Jahr 150000 Lachse fangen kann.

Frage 21 (4 Punkte):

Untersuche, welcher andere Wert von P(0) ebenso dafür sorgt, dass man jedes Jahr 150000 Lachse fangen kann.

Viel Lachs (Lösungen)

Frage 17 (maximal 4 Punkte):

  • (1 Punkt)  die Umsetzung des Modells im GTR oder das Berechnen von P(1)

  • (1 Punkt)   P(2) ≈ 271,28

  • (1 Punkt)   P(3) ≈ 159,79

  • (1 Punkt)   Er ist ungefähr um 41% gesunken.

Frage 18 (maximal 3 Punkte):

  • (1 Punkt)   Es muss nach der zweiten Lösung der Gleichung x = 9x · 0,99x gesucht werden.

  • (1 Punkt)   beschreiben, wie mit dem GTR diese Gleichung gelöst werden kann

  • (1 Punkt)   Der Gleichgewichtswert ist ungefähr 218,6.

oder

  • (1 Punkt)   Es muss nach der zweiten Lösung der Gleichung x = 9x · 0,99x gesucht werden.

  • (1 Punkt)   beschreiben, wie mit dem GTR die Gleichung 9 · 0,99x = 1 gelöst werden kann.

  • (1 Punkt)   Der Gleichgewichtswert ist ungefähr 218,6.

Frage 19 (maximal 5 Punkte):

  • (3 Punkte)   der „Spinnengewebe-Graphen“

  • (2 Punkte)   die Folgerung: der Gleichgewichtswert ist nicht stabil.

Zusatzbemerkungen:

  • Es müssen mindestens 3 Punkte des „Spinnengewebe-Graphen“ auf der Kurve selbst gezeichnet sein. Für jeden nicht gezeichneten Punkt wird 1 Punkt abgezogen.

  • Wenn in einem „Spinnengewebe-Graphen“ die Drehrichtung entgegengesetzt zur oben abgebildeten Drehrichtung ist, dann sollen maximal 2 Punkte gegeben werden.

Frage 20 (maximal 3 Punkte):

  • (1 Punkt)   Es muss nach der x-Koordinate des Hochpunktes des Graphen von  y = 9x · 0,99x  gesucht werden.  

  • (1 Punkt)   beschreiben, wie mit dem GTR die x-Koordinate des Hochpunktes gefunden werden kann

  • (1 Punkt)   Der Startwert ist ungefähr 99,5.

Frage 21 (maximal 4 Punkte):

  • (2 Punkte)  Es muss nach der zweiten Lösung der Gleichung  9x · 0,99x  = x + 150 gesucht werden.

  • (1 Punkt)    beschreiben, wie mit dem GTR diese Gleichung gelöst werden kann.

  • (1 Punkt)    Der Startwert ist ungefähr 149.

(Wes)

 
 
Wednesday, 22. November 2017 / 08:08:45