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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Das Abitur in Wiskunde
Bernd Westermann (Kempen)

Vorbemerkungen zu den niederländischen Zentralabituraufgaben in Wiskunde B Profi:

Der neue Lehrplan im Zuge der Oberstufenreform von 1998/99 bringt für Wiskunde B einige Änderungen mit sich wie z.B. neue Themen und die Einführung des graphischen Taschenrechners. So bekommen das geometrische Beweisen (Aufgabe 3) und der Einsatz des GTR (in Aufgabe 4 denkbar) auch für die Abituraufgaben Bedeutung.

An einigen Versuchsschulen wird das Abitur unter den Bedingungen des neuen Lehrplans bereits mit der Bezeichnung 'B Profi Examen' seit 1997 getestet. Ab 2001 oder 2002 gilt das Abitur unter den neuen Bedingungen für alle Gymnasien.

Die Aufgaben sind kleiner, aber zahlreicher geworden. Weiterhin kann man in der Abiturklausur maximal 100 Punkte erzielen. Da die Punkte angegeben sind, können Sie den Zeitrahmen für die folgenden Aufgaben bei der dreistündigen Klausur abschätzen.

Niederlande / Centraalexamen 1999
Wiskunde B Profi

Aufgabe 3: Kreisbüschel mit parallelen Sehnen

A und B sind zwei Punkte. In Abbildung 4 sind 11 Beispiele gezeichnet aus dem Büschel von Kreisen, die durch A und B gehen. a ist eine Gerade durch A, b ist eine Gerade durch B. Jeder Kreis wird von der Geraden a noch in einem anderen Punkt als A geschnitten und von der Geraden b in einem anderen Punkt als B. Diese Schnittpunkte sind durch eine Sehne verbunden.
In Abbildung 5 sind nur die Sehnen v1, v2 und v3 mit den zugehörigen Kreisen eingezeichnet.

Frage 8 (9 Punkte)
Beweise, dass v1, v2 und v3 parallel sind.

p1.gif (17004 Byte)

Aufgabe 4: Gewellte Kreise

Ein Punkt bewegt sich auf einer Kurve in der xy-Ebene nach den Formeln:

x = r * cos t und y = r * sin t.

Wenn r = 1 ist, ist die Kurve der Einheitskreis E.
Wenn r = 1 + (1/n) * sin nt ist, ist die Kurve ein 'gewellter Kreis' Kn. Dabei ist n eine positive ganze Zahl. In Abbildung 6 ist gezeichnet:

E: x = cos t
y = sin t

und für einen bestimmten Wert von n

Kn: x = (1 + (1/n) * sin nt) cos t
y = (1 + (1/n) * sin nt) sin t

p2.gif (8388 Byte)

Frage 9 (5 Punkte)
Welchen Wert hat n ?
Begründe Deine Antwort.

Frage 10 (9Punkte)
Berechne den Winkel, unter dem sich K1999 und E in (1/0) schneiden.

Für jedes n können wir den gewellten Kreis in zwei Kreise mit dem Mittelpunkt (0/0) einschließen: den kleinsten Kreis, der um Kn passt und den größten Kreis, der in Kn passt. Danach liegt Kn in einem ringförmigen Gebiet.

Frage 11 (7 Punkte)
Zeige, dass der Flächeninhalt des ringförmigen Gebietes 4p/n beträgt.

(Übersetzung Bernd Westermann)