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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Wiskunde A in den Niederlanden
von B. Westermann - Luise-von-Duisberg-Gymnasium Kempen

Vorbemerkungen zu den niederländischen Zentralabituraufgaben in Wiskunde A:

Es werden vier Aufgaben gestellt, die in insgesamt drei Zeitstunden zu bearbeiten sind.

Es stehen also pro Aufgabe im Durchschnitt 45 Minuten Zeit zur Verfügung. Die zu lesenden Texte sind oft recht umfangreich. Der Rechenaufwand ist andererseits möglichst gering gehalten.

Niederlande / Centraalexamen 1994
Wiskunde A (1.Termin)

Aufgabe 3: Chaparral-Vegetation

In der Übergangszone zwischen Wüstenklima und gemäßigtem Klima an der Westküste Nordamerikas trifft man auf einer Fläche von ca. 2000 km² eine Vegetation immergrüner Sträucher an. Man bezeichnet das als 'Chaparral'. Die Brennbarkeit dieser Pflanzen ist sehr von ihrem Alter abhängig. Wegen der großen Mengen verdorrten Materials brennen vor allem die älteren Pflanzen sehr leicht. Brände haben abgesehen von ihrer Gefahr für Mensch und Tier auch eine sehr nützliche Funktion: anstelle der verbrannten Sträucher wachsen ziemlich schnell junge, kräftige Pflanzen aus dem Boden. Spontane Brände werden daher nicht immer gelöscht. Die Verjüngung sorgt immer wieder dafür, dass keine großen Gebiete mit dürrem Material entstehen, die durch Brände bis hin zu einer Katastrophe leiden könnten.

Diese Situation läßt sich in einem Modell darstellen, bei dem man von folgenden Annahmen ausgeht:

  1. Die Vegetation wird entsprechend ihrem Alter in vier Klassen eingeteilt:
    Klasse 1: 0 - 10 Jahre
    Klasse 2: 10 - 20 Jahre
    Klasse 3: 20 - 30 Jahre
    Klasse 4: 30 Jahre und älter
  2. Als Maß für den Umfang einer Klasse nimmt man nicht die Anzahl der Pflanzen,
    sondern die Fläche des durch diese Klasse bedeckten Gebietes.
  3. Bei jeder Klasse bleibt der prozentuale Anteil, der in 10 Jahren verbrennt, konstant.
  4. Die Gesamtfläche des Gebietes beträgt stets 2000 km².

Für dieses Modell kann der folgende Graph gezeichnet werden:

v1.gif (2174 Byte)

Bezeichnungen:
bi = Anteil von Klasse i, der verbrennt (bi < 1)
gi = Anteil von Klasse i, der nicht verbrennt (gi < 1)

Frage 11 (6 Punkte)
Zu diesem Graphen kann eine Übergangsmatrix M aufgestellt werden, in der bi und gi vorkommen. Bilde diese Matrix M in folgender Form:

von
nach

Frage 12 (6 Punkte)
Aus Tabelle 1 ist zu entnehmen, wie groß die Fläche in km² ist, die jede Klasse zum Zeitpunkt t=0 und t=1 (10 Jahre später) bedeckt.
Berechne g1 ,g2 ,b1 und b2 auf drei Dezimalen genau. Es folgt Tabelle 1 (Fläche in km²):

Klasse t=0 t=1
1 302 284
2 284 300
3 314 278
4 1100 960

Frage 13 (3 Punkte)
Von der Matrix M wurden mit dem Computer die Potenzen M² , M3 , M4 ... usw. berechnet. Man stellt fest, daß die Matrizen Mn sich für größere Werte von n kaum noch voneinander unterscheiden. So stimmen die auf 2 Dezimalen gerundeten Matrizen Mn für n > 20 mit der folgenden Übergangsmatrix überein:

von  1         2        3         4
nach

Es ergibt sich, dass in jeder Zeile die Zahlen übereinstimmen.
Was kann man daraus für die Chaparral-Vegetation folgern?

Frage 14 (6 Punkte)
In der Praxis führen die Verwalter des Chaparral auch noch ein kontrolliertes, gewolltes Abbrennen von Teilen der Vegetation, die älter als 10 Jahre ist, durch.
In unserem Modell nehmen wir zur Vereinfachung an, dass das Abbrennen immer unmittelbar nach Ablauf von 10 Jahren auf einmal stattfindet. Nehmen wir weiter an, daß stets 2,5% von Klasse 2, 1,3% von Klasse 3 und 7,2% von Klasse 4 abbrennen.
Dieser Vorgang des gewollten Abbrennens kann durch eine 4 x 4 - Matrix beschrieben werden, in der die oben genannten Prozentzahlen benutzt werden. Mit Hilfe des Matrizenproduktes B*M kann dann der gesamte, zehnjährige Vorgang mit spontanem und gewolltem Abbrennen beschrieben werden.
Stelle die Matrix B auf.

(Übersetzung Bernd Westermann)