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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Wiskunde A in den Niederlanden
von B. Westermann - Luise-von-Duisberg-Gymnasium Kempen

Vorbemerkungen zu den niederländischen Zentralabituraufgaben in Wiskunde A:

Es werden vier Aufgaben gestellt, die in insgesamt drei Zeitstunden zu bearbeiten sind.

Es stehen also pro Aufgabe im Durchschnitt 45 Minuten Zeit zur Verfügung. Die zu lesenden Texte sind oft recht umfangreich. Der Rechenaufwand ist andererseits möglichst gering gehalten.

Niederlande / Centraalexamen 1994
Wiskunde A (1.Termin)

Aufgabe 1: Winter

Um zu sehen, ob ein Winter 'kälter' gewesen ist als ein anderer, betrachtet man die Temperaturen in der Zeit vom 1.November bis zum 31.März.

Zur Berechnung der sogenannten 'Hellmann-Zahl' eines Winters benutzt man die mittlere Tagestemperatur. Tage, an denen diese Temperatur 0° C oder höher ist, werden nicht berücksichtigt; nur Tage mit einer Durchschnittstemperatur unter 0° zählen mit. Beträgt die mittlere Tagestemperatur z.B. -3.8° C, dann liefert dieser Tag einen Beitrag von 3.8 zur Hellmann-Zahl. Das Minuszeichen der Temperatur wird also weggelassen. Die so erhaltenen positiven Werte werden aufsummiert. Als Endergebnis erhält man die Hellmann-Zahl.

Abbildung 1

a3.gif (11699 Byte)

Die Abbildung 1 zeigt für die acht kältesten Winter aus dem Zeitraum von 1890 bis 1984, wie die Hellmann-Zahl zustande gekommen ist. Zu diesen acht kältesten Wintern gehören die Winter 1890-1891, 1941-1942 und 1955-1956.

(1.Teilaufgabe / 3 Punkte)

Nenne die Hellmann-Zahlen von diesen drei Wintern. Benutze dazu Abbildung 1 und die folgenden Angaben:
Ein ganz besonderer Winter war der von 1890-1891. Die strenge Kälte fiel vor allem in den Monat Dezember. Auffallend spät begann der Kriegswinter 1941-1942 und wurde dann doch noch einer der drei kältesten Winter. Einige Winter gingen erst im Februar richtig los. Ein Beispiel dafür ist der Winter 1928-1929 und in noch extremeren Maße der von 1955-1956. In jenem Winter war mit Ausnahme vom Februar von Frost kaum die Rede.

Zum Vergleich von Wintern benutzen Metereologen auch die sogenannte 'Frostzahl' eines Winters. Bei der Berechnung dieser Frostzahl berücksichtigt man aber nicht die mittlere Tagestemperatur. Stattdessen geht man für jeden Tag zwischen dem 1.November und dem 31.März folgenden Fragen nach:

  • War die Minimumtemperatur niedriger als 0° C ? Falls ja, dann wird dieser Tag als Frosttag gezählt.
  • War die Temperatur am ganzen Tag niedriger als 0° C ? Falls ja, dann wird dieser Tag als Eistag gewertet.
  • War die Minimumtemperatur -10° C oder niedriger ? Falls ja, dann wird dieser Tag als sehr kalter Tag gezählt.

Ein Frosttag kann daher auch noch als ein Eistag und/oder als ein sehr kalter Tag gerechnet werden. Es gibt also (für Frosttage) insgesamt vier Möglichkeiten.

Abbildung 2 zeigt den Temperaturverlauf bei einer dieser Möglichkeiten, nämlich an einem Frosttag, der auch ein sehr kalter Tag, aber kein Eistag ist.

Abbildung 2:

a4.gif (2913 Byte)

(2.Teilaufgabe / 6 Punkte)

Nenne die drei anderen Möglichkeiten, und veranschauliche mit Skizzen, wie der Temperaturverlauf bei diesen Möglichkeiten sein könnte.

Am Schluß eines Winters ist die Anzahl von Frosttagen (v), Eistagen (y) und sehr kalten Tagen (z) bekannt. Die 'Frostzahl' (F) wird dann berechnet mit der Formel:

F = 0.00275 v2 + 0.667 y + 1.111 z

(3.Teilaufgabe / 3 Punkte)

Es ist möglich, daß ein Tag einen Beitrag von mehr als 1 bei der Berechnung von liefert, aber keinen Beitrag zur Hellmann-Zahl liefert. Was ist an so einem Tag los?

Abbildung 3:

a5.gif (36431 Byte)

(4.Teilaufgabe / 3 Punkte)

Abbildung 3 zeigt, welche Frostzahl man für die Winter im Zeitraum von 1850 bis 1988 ermittelt hat. Der Winter 1850 bedeutet den Winter 1849-1850 usw.

Berechne mit Hilfe der Abbildung 3 die relative Häufigkeit von Wintern im Zeitraum von 1850 bis 1988, für die F > 44 gilt.

(5.Teilaufgabe / 4 Punkte)

Mittels der Frostzahl teilt man die Winter in 9 Klassen ein, von 'extrem mild' bis 'extrem streng'.
So definiert man zum Beispiel einen Winter als 'streng' für 44 < F <= 68.

In einem bestimmten Winter der Klasse 'streng' zählte man 70 Frosttage und 37 Eistage.

Berechne die kleinste und größte Anzahl von sehr kalten Tagen, die dieser Winter gehabt haben kann.

(6.Teilaufgabe / 4 Punkte)

Ein bestimmter Winter falle in die Klasse 'streng'. Berechne, wieviel Frosttage dieser Winter mindestens gehabt haben muß.

(Übersetzung Bernd Westermann)