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Mathe-Treff: Blick über den Zaun
Wiskunde A - der niederländische Grundkurs
Bernd Westermann (Kempen)

Der Ausgangspunkt: Es gibt unter den Schülern, die den Hochschulzugang anstreben, eine große Anzahl von Schülern, die ihren schulischen Schwerpunkt nicht in Mathematik und Naturwissenschaften setzen wollen oder die mit abstrakter, theoretischer Mathematik erhebliche Schwierigkeiten haben.
Welchen und wie viel Mathematikunterricht soll man diesen Schülern anbieten?

Der niederländische Weg: In den 70-er Jahren des letzten Jahrhunderts hatten sich in den Niederlanden Klagen über den Mathematikunterricht gehäuft. Viele fanden, dass er zu wenig lebensnah und zu schwierig war. Es gab daraufhin eine jahrelange Versuchsphase zur Reform des Unterrichtes (Hewet-Projekt) und als Ergebnis die Reform von 1985. Seither können die Schüler im vwo (Gymnasium) in den letzten beiden Schuljahren vor dem Abitur, d.h. im 11. und 12. Schuljahr, zwischen Wiskunde A und Wiskunde B wählen. Für Wiskunde A ist das Bemühen um zwei Ziele kennzeichnend:

  1. Anwendungsorientierung: Den Schülern begegnet die Mathematik in Wiskunde A vorwiegend in vielfältigen, außermathematischen Kontexten und Anwendungssituationen,
  2. selbständiges Arbeiten der Schüler.

Diese grundsätzlichen Zielsetzungen von Wiskunde A haben sich auch durch die Oberstufenreform 1999 (tweede fase) nicht geändert, seit der man zwischen Wiskunde A1 im Profil‚ Kultur und Gesellschaft' und Wiskunde A1,2 im Profil‚ Wirtschaft und Gesellschaft' unterscheidet. Seit 1989 gibt es übrigens Wiskunde A auch in der havo, die oft mit unserer deutschen Realschule gleichgesetzt wird. In Deutschland wählen die eingangs beschriebenen Schüler den Grundkurs. In der Praxis wird der Grundkurs bei uns aber immer noch häufig nur als stark vereinfachter, verkürzter Leistungskurs praktiziert. Hierin besteht ein deutlicher Unterschied zu den Niederlanden, denn dort verfolgt Wiskunde A ein völlig eigenständiges Konzept. Wiskunde A ist keine echte Teilmenge von Wiskunde B.

Die pädagogischen Ziele von Wiskunde A: Wiskunde A liegt die Konzeption der Realistic Mathematics Education (RME) zugrunde, die vor allem vom Freudenthal-Institut an der Universität Utrecht seit den 70-er Jahren entwickelt wurde. Das ist eine Auffassung vom Lernen und Lehren von Mathe-matik, die Jan de Lange, der Direktor des Freudenthal-Institutes, so umreißt:
"Die Prinzipien, die dieser Auffassung zugrunde liegen, sind stark von Hans Freudenthals Konzept der‚ Mathematik als einer menschlichen Aktivität' beeinflusst. Er war der Ansicht, dass Schüler nicht als passive Empfänger von fertiger Mathematik betrachtet werden sollten, sondern dass der Unterricht Ihnen zunehmend die Gelegenheit bieten sollte, Mathematik wieder neu zu erfinden. Lernsituationen können viele Probleme darstellen, die die Schüler als bedeutungsvoll erfahren." (DE LAN-GE,2001)
Das heißt: Es sollen dem Schüler Probleme in Kontexten angeboten werden, die ihn zur Bearbeitung reizen, die seiner Erfahrungswelt entnommen sind und die er für bedeutend hält. Dadurch sollen Schüleraktivitäten ausgelöst und neue mathematische Konzepte, Begriffe und Verfahren entwickelt werden (conceptual mathematics). Anschließend lassen sich diese Konzepte einüben, anwenden und verbessern. Die Kontexte sollen also letztlich den Zugang zu den mathematischen Inhalten verbessern.

Die inhaltlichen Ziele von Wiskunde A werden sehr global im Hewet-Report von 1980 beschrieben:
"Wiskunde A ist für Schüler bestimmt, die in ihrem Studium wenig Weiterbildung in Mathematik haben werden, die aber dennoch Mathematik in gewissem Umfang gebrauchen müssen.
Vor allem wird an diejenigen gedacht, die sich darauf einstellen müssen, dass die Mathematik auch immer mehr in Fachgebiete außerhalb der Naturwissenschaften vordringt. Das bedeutet, dass die Schüler in ihrem Unterricht die Bedeutung einer mathematischen Darstellung beurteilen lernen müssen. Daher sollen sie vertraut gemacht werden mit einem mathematisch korrekten Umgang mit Zahlen, mit Darstellung in Formelsprache und unterschiedlichen Formen mathematischer Darstellung. Außerdem müssen sie lernen, mit mathematischen Modellen zu arbeiten und die Relevanz dieser Modelle zu beurteilen.
" (zitiert nach DE LANGE, 1995)

Der Lehrplan: Im Unterricht von Wiskunde A werden Gebiete bevorzugt, die für Anwendungen wichtig sind wie z.B. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, diskrete dynamische Modelle, lineares Optimieren, Matrizenrechnung, Extremwertbestimmungen in der Analysis usw.
Die Standards für das 10. bis 12.Schuljahr werden sehr detailliert im examensprogramma beschrieben. So umfasst das examensprogramma für Wiskunde A genau 150 Unterpunkte, die bis zum Abitur erreicht werden müssen, wobei der methodische Weg weitgehend freigestellt ist.

Die Anwendungsorientierung von Wiskunde A wird auf den Seiten des MATHE-TREFF durch zahlreiche Aufgaben aus dem Zentralabitur verdeutlicht. Das Zentralabitur von Wiskunde A enthält nur Aufgaben mit außermathematischen Kontexten. Das dürfte wohl einmalig in der Welt sein. Die Abituraufgaben von Wiskunde A weisen einige typische Merkmale auf:

  • Die Aufgaben tragen einen Titel, der den Kontext angibt (z.B. Straßenbeleuchtung, Winter, Vögel).
  • Die Aufgabentexte sind i.a. ziemlich lang, da die Kontexte ausführlich dargestellt werden. Sie stellen daher erhebliche Anforderungen an die Lesekompetenz der Schüler.
  • In vielen Aufgaben werden authentische Kontexte dargestellt. Ein Buch mit den Abituraufgaben für Wiskunde A ist daher eine interessante, anregende Lektüre.
    Einige Themen aus den letzten Jahren: Lebensdauer von Kaffeemaschinen (2003), Verbrauch von Grundstoffen (2003), Tennisaufschlag (2000), Übergewicht (2000), globale Sonneneinstrahlung (1999), Briefmarkenkatalog (1999), Sonnenkollektoren (1998).
  • Es können auch überraschend einfache Einstiegsfragen vorkommen, die Unterrichtsstoff aus weiter zurückliegenden Schuljahren wieder aufgreifen. Das verdeutlicht auch die Bedeutung, die im niederländischen Unterricht dem kumulativen Lernen zukommt.
  • Die Rechnungen sind i.a. nicht lang. Es kommt häufig auf eine Idee an. Der Anteil der Aufgaben, die keine reine Routineaufgaben sind, ist nicht gering.
  • Die Abituraufgaben sind vorher nur schlecht in ihrer Thematik auszurechnen. Manche Themen treten allerdings im Laufe der Jahre doch häufiger auf , wie z.B. Wachstumsvorgänge, Auswertung von Statistiken mit Hilfe der Beurteilenden Statistik, die ausführliche Auswertung von Grafiken.
  • Die mathematischen Modelle werden durch die Aufgabenstellungen für die Anwendungssituationen weitgehend vorgegeben.
  • Bei jeder Frage ist die erreichbare Punktzahl angegeben. Insgesamt müssen die Schüler im Zentralabitur in Wiskunde A in drei Stunden vier oder fünf Aufgaben bearbeiten, die insgesamt aus ca. 20 einzelnen Fragen bestehen.

Die geschlossene Form der Abituraufgaben lässt natürlich wenig von dem pädagogischen Ziel Freudenthals erkennen, an reizvollen realistischen Kontexten Mathematik neu zu finden. Das Freudenthal-Institut hat daher 1989 einen Mathematikwettbewerb für Wiskunde A - die Wiskunde-Alympiade - ins Leben gerufen, in dem sehr komplexe und offene mathematische Fragestellungen mit motivierenden Kontexten zu bearbeiten sind.
Außerdem müssen die Schüler von Wiskunde A seit der Oberstufenreform von 1999 eine schulabhängige Anzahl kleinerer Facharbeiten (praktische opdrachten) anfertigen, die häufig anwendungsorientierte Themen haben und deren Problemstellung sehr offen ist.

Das selbständige Arbeiten in Wiskunde A: Man kann im Unterricht von Wiskunde A verschiedene Methoden beobachten, die die selbständige Auseinandersetzung der Schüler mit Mathematik fördern sollen.
So publiziert der Mathematiklehrerverband fortlaufend kleine mathematische Themenhefte (Zebra-Boeken), von denen sich jeder Schüler ein oder zwei zum selbständigen Durcharbeiten auswählen muss. Das ist auch im neuen Lehrplan seit 1999 unter dem Titel ‚Zebra' mit einer bestimmten Stun-denzahl festgeschrieben.
Weit verbreitet ist im Unterricht von Wiskunde A die selbständige Bucharbeit. Diese recht einfache, pragmatische Unterrichtsform hat sich in den letzten Jahren in Wiskunde A weitgehend durchgesetzt. Dabei arbeiten die Schüler über mehrere Unterrichtsstunden hinweg selbständig in ihren Mathematikbüchern. Der Lehrer gibt den Schülern ein umfangreiches Thema als Ziel vor. Beispiel: "Arbeitet die Seiten über die Binomialverteilung im Buch durch und löst die zugehörigen Aufgaben." Es hängt vom Lehrer ab, ob das in Gruppenarbeit, Partnerarbeit oder Individualarbeit geschieht. Die Ergebniskon-trolle führen die Schüler selbst durch mit Lösungsheften oder mit vom Lehrer ausgearbeiteten Musterlösungen. Der Lehrer berät während des Arbeitens einzelne Schüler bzw. Schülergruppen. Die Bucharbeit ist eine für den Lehrer einfache, pragmatische Methode, und dennoch fördert sie wichtige Arbeitstechniken beim Schüler. Die Schulbuchautoren haben in den letzten Jahren sehr stark darauf geachtet, die Bücher so zu schreiben, dass sie für die Schüler gut verständlich sind und dass der Lehrer wenig helfen muss.

Erfahrungen mit Wiskunde A:
Mittlerweile liegen 20 Jahre Erfahrung mit dem Konzept von Wiskunde A vor.
Die niederländischen Lehrer beurteilen Wiskunde A weit überwiegend positiv. Durch Wiskunde A wird mancher Schüler erreicht, den eine abstrakte, beweisintensive Mathematik nicht erreichen würde.
Die Ideen von Wiskunde A wurden in den Niederlanden in den 90-er Jahren auch in der Grundschule und in den Klassen 7 bis 9 übernommen. Die Ideen haben die Schulmathematik in anderen Ländern und sogar die Konzeption von PISA beeinflusst. So schreibt z.B. Kees Hoogland in Euclides, der Zeitschrift des Mathematiklehrerverbandes: "Weltweit gibt es sehr viel Wertschätzung für unser Bemühen, soviel Schüler wie möglich auf ihrem eigenen Niveau soviel sinnvolle mathematische Fertigkeiten und Erfahrungen wie möglich praktizieren zu lassen." (Jg. 2000, S.37).
Es gibt gelegentlich Einwände von reinen Mathematikern an den Hochschulen. Nach dem Abitur 2000 meinten einige Hochschulmathematiker in Bezug auf Wiskunde A kritisch, dass es in der Mathematik nicht nur um das Lösen von Alltagsproblemen gehen dürfe. Es gehe auch um Strukturprobleme in verschiedenen Abstraktionsniveaus. Die Reaktionen auf diese Kritik zeigten dann aber deutlich, wie breit die Unterstützung für Wiskunde A heute in den Niederlanden bei Fachdidaktikern und Lehrern ist. Ein Problem ist aber sicher, dass Wiskunde A den Zugang zu einem Studium der Mathematik und Naturwissenschaften erschwert.
Das in Wiskunde A weit verbreitete selbständige Arbeiten in den Schulbüchern hat die Bedeutung der Schulbücher für den Unterricht erhöht. Es wird aber kritisiert, dass inzwischen die Darstellung in den Schulbüchern, um dem Schüler Schwierigkeiten zu ersparen, vielfach zu kleinschrittig geworden ist. Durch die Schulbücher sind allerdings viele gute Kontexte entwickelt worden, was den Lehrer in der Unterrichtsvorbereitung stark entlastet.
Manche Folgen von Wiskunde A auf die Schülerschaft sind noch nicht abschließend zu beurteilen.
Einerseits wird z.B. konstatiert, dass Wiskunde A die heuristischen Fähigkeiten zum Lösen komplexer Probleme bei Schülern nicht in dem Umfang entwickelt hat, wie man es sich anfangs erhofft hatte. So schreibt der Didaktiker Zwanefeld: "Anfänglich ging man beim realistischen Mathematikunterricht davon aus, dass die Schüler durch die Mathematik das Lösen von Problemen von selbst lernen würden. Inzwischen ist klar, dass davon keine Rede sein kann. Das zeigen zum Beispiel Dissertationen." (ZWANEVELD 2000, S.418)

Andererseits ist festzustellen, dass niederländische Schüler bei TIMSS 1995 und 1999 in Europa ganz weit vorn landeten. Dabei zeigen Feinanalysen, dass sie bei Kontextaufgaben, aber auch bei neuartigen Aufgabenstellungen relativ gut abschneiden. Diese höhere Flexibilität der Schüler wird in den Niederlanden auch auf das häufige Arbeiten mit Kontexten zurückgeführt.
"In den Niederlanden sind wir bemüht, Mathematik so mit Kontexten anzubieten, dass sie für den Schüler sinnvoll sind, und zwar nicht erst für später, sondern schon während des Lernprozesses. Niederländische Schüler bekommen Mathematik anders dargeboten als in vielen anderen Ländern. Die internationalen Vergleichsuntersuchungen schließen sich nur teilweise an unseren Lehrplan an (ungefähr zu 70%). Unsere Schüler sind sehr unbefangen und geben korrekte Antworten in Aufgaben, die sie vorher noch nicht gesehen haben. Wenn sie eine Aufgabe sehen, dann denken sie nicht 'Die kenn ich nicht, die kann ich nicht.', sondern 'Lass es mal probieren.'" (VOS und BOS 2001)

Literaturverweise:

  • DE LANGE, Jan (1995): Waarom een Wiskunde A-lympiade? in: Vijf jaar Wiskunde A-lympiade, Ut-recht 1995, S.9
  • DE LANGE, Jan (2001) : auf den Internetseiten des Freudenthal-Institutes (www.fi.ruu.nl)
  • VOS, Pauline / BOS, Klaas (2001): Nederlands wiskundeonderwijs bij de internationale top, in: Euclides, März 2001, S. 227-232
  • ZWANEVELD, Bert (2000): Een blik achteruit en een beetje vooruit, in: Honderd jaar Wiskundeonderwijs, Leusden, S.413-421