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Mathe-Treff: Lösung der Knobel-Aufgaben
für die Klassen 7 und 8
September/Oktober 1997

  1.  
    1. Die erste Zahl sei a. Die Teilbarkeit der Summe durch 3 ergibt sich aus: a+(a+1)+(a+2) 3 · a + 3 = 3·(a+1)
    2. Die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist nicht immer durch teilbar.
      Beweis durch Gegenbeispiel: 1+2+3+4 = 10 und 4 ist kein Teiler von 10
    3. 5 Zahlen ( analog zu a) )
      a+a+1+a+2+a+3+a+4 = 5· a + 10 = 5 ( a+2 )
      Die Summe ist somit stets durch 5 teilbar.

      6 Zahlen ( analog zu b) )
      1+2+3+4+5+6 = 21, 6 ist kein Teiler von 21
  2. Wenn sich die Boote treffen, sind sie 720 Yards vom einem Ufer entfernt. Die Entfernung, die beide zurückgelegt haben, entspricht der Breite des Flusses. Wenn sie das gegenüberliegende Ufer erreicht haben, entspricht die Strecke, die beide zurückgelegt haben, der doppelten Breite des Flusses. Begegnen sich die Schiffe auf der Rückfahrt, so entspricht die gemeinsam gefahrene Distanz der dreifachen Breite des Flusses. Beim ersten Treffen hatte das eine Boot 720 Yards zurückgelegt, so dass es bei der 2. Begegnung dreimal diese Entfernung also 2160 Yards gefahren ist. Diese ist aber logischerweise 400 Yards größer als die Breite des Flusses. Wir müssen nur 400 von 2160 subtrahieren und erhalten die Breite des Flusses.
    Dieser ist 1760 Yards oder eine Meile breit.
  3.  
    1. V = 4³ cm³ = 64 cm³
    2. ( k - 2 )³ W = 2³ W = 8 W
    3. 64 - 8 = 56 bei k=4
    4. ( k -2 )² · 6 = 4 · 6 = 24
    5. 2 · 2 ·4 + 2·4 = 24
    6. 8