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Mathe-Treff: Lösung der Knobel-Aufgaben
für die Klassen 7 und 8
November/Dezember 1997

1. Aufgabe:

Klaus ist mindestens 11 Jahre und höchsten 19 Jahre alt.
Da sein Vater 21 Jahre älter ist, ist er mindestens 32 und höchstens 40 Jahre alt.
Die Mutter ist mindestens 33 und höchstens 41 Jahre alt.
Das Alter der Mutter muss ein Vielfaches von 12 sein. Also ist die Mutter 36 Jahre alt, der Vater 35, die Schwester 3 und Klaus selber 14 Jahre alt.

2. Aufgabe:

Auf der 1. Bahn kann eines von den 5 Mädchen laufen. Für die Wahl der ersten Bahn gibt es also 5 Möglichkeiten. Wenn schon ein Mädchen für die 1. Bahn ausgewählt ist, kann noch eines von 4 Mädchen auf der zweiten Bahn laufen. Insgesamt gibt es also 20 verschiedene Möglichkeiten für die Läuferinnen auf den ersten zwei Bahnen.

Für die 3. Bahn stehen noch 3 Mädchen zur Verfügung, 2 für die 4. Bahn und für die 5. Bahn bleibt noch ein Mädchen übrig. Damit erhalten wir insgesamt 5 * 4 * 3 * 2 * 1 120 Möglichkeiten.

Barbara und Erika können entweder auf den Bahnen 1 und 2 oder auf 2 und 3 oder auf und 4 oder auf 4 und 5 laufen. Das sind vier Auswahlmöglichkeiten für die benachbarten Bahnen. Da entweder Barbara oder Erika auf der Bahn mit der niedrigeren Nummer laufen kann, gibt es 8 Möglichkeiten für Erika und Barbara.

Die übrigen drei Mädchen müssen sich nun auf die restlichen Bahnen verteilen. Dafür gibt es jeweils 6 Möglichkeiten. Insgesamt erhalten wir also 8*6 = 48 Möglichkeiten.

3. Aufgabe:

Die Geheimnummer hat die Gestalt abba. Die Zahl, die aus den beiden letzten Ziffern gebildet wird hat den Wert 10*b + a. Die Quersumme ist a + b + b + a = 2*a + 2 * b.

Nun lautet die Bedingung: 10 * b + a = 2*a + 2* b + 2 oder 8*b = a + 2. a + 2 hat höchstens den Wert 11. Deshalb kann nur b=1 sein. Dann ist 8 = a + 2, also a = 6.

Die Geheimnummer lautet 6116.

Lösungsalternative (ohne Gleichungen)

Die Quersumme hat höchstens den Wert 36 (bei der Geheimzahl 9999). Die letzten Ziffern bilden eine um zwei größere Zahl, also höchstens die Zahl 38.

Die Quersumme hat mindestens den Wert 2. Die letzten beiden Ziffern bilden also mindestens die Zahl 04.

Nun werden alle 35 Möglichkeiten durchprobiert und jeweils die Quersumme berechnet:

Geheimzahl 4004 Quersumme 8 keine Lösung
Geheimzahl 5005 Quersumme 10 keine Lösung
...
Geheimzahl 9009 Quersumme 18 keine Lösung.
...
Geheimzahl 6116 Quersumme 14 L Ö S U N G

...
Geheimzahl 9119 Quersumme 20 keine Lösung

...
Geheimzahl 8338 Quersumme 22 keine Lösung

Werden alle Zahlen durchprobiert (auch die hier nicht dargestellten!) findet man als einzige Lösung 6116.