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Mathe-Treff: Lösung der Knobel-Aufgaben
für die Klassen 9 und 10
November/Dezember 1997

1. Aufgabe:

Die Einerziffer der gesuchten Zahl sei a, die Zehnerziffer b. Dann hat die gesuchte Zahl den Wert 10*b + a.

Es ist nun:

Auflösen der 2. Gleichung nach a und Einsetzen in die erste Gleichung ergibt

Dann ist

Die gesuchte Zahl lautet 47.

Andere Lösung (ohne Gleichungen):

Addiert man zu allen Vielfachen von 6 die Zahl 5, so erhält man eine Reihe von Zahlen, unter denen die gesuchte zweistellige Zahl ist:
5; 11; 23; 29; 35; 41; 47; 53; 59; 65; 71; 77; 83; 89; 95

Ebenso bildet man eine Reihe von Zahlen, indem zu allen Vielfachen von 11 die Zahl addiert wird:
3; 14; 25; 36; 47; 58; 69; 80; 91.

47 ist die einzige Zahl, die in beiden Reihen vorkommt.

2. Aufgabe:

Sei m das Alter der Mutter und r,s,t das Alter der Kinder. Dann gilt

m + r + s + t = 63
m = 7*r
t = 2*r
s-3 = 5*(r-3) oder s = 5*r – 12

Werden die unteren drei Gleichungen in die obere eingesetzt, ergibt sich
7*r + r + 2*r + 5*r – 12 = 63 oder 15*r = 75 oder r = 5.
Dann ist m = 35, t = 10, s = 13.

3. Aufgabe:

Es ist n3 - n = n*(n-1)*(n+1), also ein Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen. Unter diesen ist immer eine durch drei teilbar. Mindestens eine von den drei Zahlen ist gerade, also durch 2 teilbar. Deshalb ist das Produkt durch teilbar.

Das Produkt ist dann durch 12 teilbar, wenn der Primfaktor 2 mindestens zweimal vorkommt. Das ist möglich, wenn zwei gerade Faktoren in dem Produkt vorkommen, also wenn n eine ungerade Zahl ist. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, dass n gerade ist, aber den Primfaktor 2 mehrfach enthält, also durch 4 teilbar ist.