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Mathe-Treff: Lösung der Knobel-Aufgaben
für die Klassen 9 und 10
15. Mai bis August 1998

1. Aufgabe:

Die zu multiplizierenden Zahlen seien 100 - a und 100 - b, 0 < a, b < 10. Nach Pataki erhält man
(1) (100 - a) + (100 - b) = 200 - a - b.

(2) Die Streichung der ersten Stelle entspricht der Subtraktion von 100:
(200 - a - b) - 100 = 100 - a - b.

(3) Man erhält a · b.

(4) 100 · (100–a–b) + a · b = 100 · (100–a) – b · (100-a) (100-a) · (100-b) .

Diese Methode ist also für alle Faktoren zwischen 90 und 100 gültig.

2. Aufgabe:

l7-98-1.gif (5693 Byte)

Nach Voraussetzung berührt der Kreis die Seiten AB,BC,CD,DA in den Punkten P;Q;R und S. Ist M der Mittelpunkt von k, so ist jeweils MP = MQ = MR = MS = r .
Der Flächeninhalt A von ABCD beträgt:

l7-98-2.gif (1530 Byte)

3. Aufgabe:

  1. Wenn ein solches Gespräch stattfinden konnte, dann folgt:
    Wäre C ein Schurke, so wäre seine Aussage falsch. Andererseits aber wäre in der von gemachten " Wenn – dann" Aussage die Voraussetzung falsch, die Aussage selbst also wahr; A müsste, da er eine wahre Aussage gemacht hätte, ein Edelmann sein. Die Annahme, C wäre ein Schurke, hat damit zum Widerspruch geführt:
    d.h. es folgt: C ist ein Edelmann.
    Weiter folgt: Die Aussage von C ist wahr, somit ist A ein Schurke.
    Also ist die Aussage von A falsch. Das ist, weil darin die Voraussetzung wahr ist, nur so möglich, dass die Behauptung darin falsch ist; d. h. es folgt: B ist ein Edelmann.
  2. Wenn A ein Schurke ist und B und C Edelmänner sind, so ist die Aussage von A falsch (da in ihr die Voraussetzung wahr und die Behauptung falsch ist), A kann seine Aussage also gemacht haben. Ferner ist die Aussage von C wahr (da C und A von verschiedenen Sorten sind), also kann auch C seine Aussage gemacht haben.
    Das Gespräch kann also stattgefunden haben und A, B und C haben die o,g. Eigenschaften.