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Mathe-Treff: Lösung der Knobel-Aufgaben
für die Klassen 9 und 10
September/Oktober 1998

1. Aufgabe:

Wir betrachten die Endziffern der Potenzen von 2: 21=2; 22=4; 23=8; 24=16; 25=32 .

Da die Endziffer eines Produktes nur von den Endziffern der Faktoren abhängig ist, durchlaufen die Endziffern der Zweierpotenzen nacheinander die Ziffern 2, 4, 8, 6 immer wieder. Dabei ergibt sich die Endziffer 6, wenn der Exponent durch 4 teilbar ist.

Nun läßt 1998 bei Division durch 4 den Rest 2. Also ist die Endziffer von 21998 die Ziffer 4.

2. Aufgabe:

Die Zahl habe die Ziffern a, b und c. Dann hat sie den Wert 100× a +10× b + c, und die Bedingung der Aufgabe lautet 100× a +10× b + c + a + b + c = 519 bzw.
101× a + 11× b + 2× c = 519.

Dann ist 5 der größte mögliche Wert für a.

Angenommen a = 5: Dann ist 11× b + 2× c = 14. b darf höchstens 1 sein. Für b = 1 müßte aber 2× = 3 sein, was nicht möglich ist. Für b = 0 ergibt sich c = 7, so daß die Zahl 507 die gewünschte Eigenschaft hat.

Angenommen b = 4: Dann ist 11× b + 2× c = 115. Da c höchstens 9 sein kann, muß
11× b mindestens 97 sein. Das geht nur wenn b = 9 ist. Dann muß 2× c = 16 sein, so daß die Zahl 498 eine weitere Lösung ist.

3. Aufgabe:

Diese Aufgabe kann auf verschiedene Arten gelöst werden. Natürlich kann die Cola-Flasche mit Erbsen gefüllt werden, die dann einzeln gezählt werden. Man kann aber auch einen kleineren Behälter mit Erbsen füllen, diese dann zählen und rechnen, wie viele in die Flasche passen.

Man kann zum Beispiel eine Streichholzschachtel verwenden. Sie hat die Maße
1,2 cm x 5 cm x 3,5 cm, also ein Volumen von 21 cm³. Ich konnte 58 Erbsen in die Streichholzschachtel füllen. Da 1500 cm³ : 21 cm³ » 71,4, passen etwa
71,4 * 58 » 4100 Erbsen in die Cola-Flasche.