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Mathe-Treff: Knobel-Aufgaben für die Klassen 9 und 10
15. Mai bis August 1998

  1. Der ungarische Rechenkünstler Pataki berechnet das Produkt 95 · 97 auf folgende Weise:
    (1) Er addiert die Faktoren 95+97=192
    (2) Er streicht die erste Stelle der Summe 92
    (3) Er bildet die Differenz aus 100 und dem einen Faktor und die Differenz aus 100 und dem anderen Faktor und multipliziert die Differenzen. Ergibt sich als Produkt eine einstellige Zahl, so schreibt er eine Null davor 3 · 5=15
    (4) Er schreibt das Ergebnis von (3) hinter das Ergebnis von (2) und erhält 9215

    Untersuche, ob dieses Verfahren für alle Faktoren zwischen 90 und 100 gültig ist.
  2. Es sei ABCD ein Tangentenviereck, sein Umfang sei u, der Radius seines Inkreises sei r.
    Zeige, dass bereits durch die alleinige Vorgabe von u und r der Flächeninhalt von ABCD eindeutig bestimmt ist; ermittle diesen Flächeninhalt in Abhängigkeit von u und r.

    Hinweis: Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn es einen Kreis enthält, der jede Seite von ABCD in einem Punkt zwischen den Endpunkten dieser Seite berührt. Dieser Kreis ist dann der Inkreis von ABCD.
  3. In einem Land gibt es nur zwei Sorten von Menschen: Edelmänner und Schurken.
    Jeder Edelmann macht nur wahre Aussagen, Jeder Schurke nur falsche Aussagen.
    Ein nicht aus diesem Land stammender Reporeter berichtet, er habe folgendes Gespräch dreier Einwohner A, B und C dieses Landes gehört:

    A sagt zu B : " Wenn C ein Edelmann ist, dann bist du ein Schurke."
    C sagt zu A : " Du bist von anderer Sorte als ich."

    Kann ein solches Gespräch stattgefunden haben? Wenn das der Fall war, geht dann aus dem Gespräch für jeden der drei A, B und C eindeutig hervor, ob er Edelmann oder Schurke ist, und zu welchen Sorten gehören dann A, B und C?