brlogo
untitled
   
   
   
 

Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
Januar/Februar 1999


  1. (In den folgenden Gleichungen werden die Einheiten für die Strecken (km) und Zeiten (h) weggelassen.)
    Die Komponentenzerlegung der Bewegung von Joe Physics (Index = 1) ergibt fürdie x-Komponenete der Geschwindigkeit:
    v1x = - 60·2/Ö5. Daraus ergibt sich seine x-Koordinate :
    x1(t)=37,67 + v1x·t = 37,67 - (60·2/Ö5)·t
    Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen der x-Koordinate in die Gleichung der A1:
    y1(t)=x1(t)/2+1 = 37,67/2+1 - (60/Ö5)·t
    Entsprechend ergeben sich die Koordinaten des feindlichen Autos (Index 2):
    v2x = 70/Ö5
    x2(t)=-20,466 + v2x·t = -20,466 + (70/Ö5)·t
    y2(t)= -2·x2(t) + 3,5 = 2·20,466+3,5-2(70/Ö5)·t
    Das Quadrat des Abstands D zwischen den Autos ist:
    D(t)=(x2-x1)2 + (y2-y1)2.
    Setzt man die Zahlenwerte ein, so ergibt sich:
    D(t)=8500·t2 - 11639,7·t + 3984.80
    Durch Differenzieren oder indem man die Gleichung auf Scheitelpunktsform bringt, ergibt sich der t-Wert für das Minimum des Ausdrucks:
    tmin= 0,684688
    Setzt man diesen Wert in D(t) ein und zieht die Wurzel, so erhält man den minimalen Abstand:
    dmin=ÖD(0,684688)=0,109376
    Das übersteigt (wenn auch nur knapp) die Sensorreichweite von 0,1. Joe entgeht dem Anschlag.


  2. Die Stücke in den Ecken des Rechtecks haben den Inhalt . Der gesuchte Abstand sei d. Dann hat das Rechteck den Inhalt . Der Inhalt läßt sich aber auch aus den Flächenstücken im Inneren zusammensetzen: , da die eingefärbten Flächenstücke gleich groß sind. Zusammengefaßt ergibt sich bzw. .

  3. Angenommen, Albert lügt. Da er sagt: "Ich war es nicht," muß er der Täter sein. Da aber Dieter in diesem Fall die Wahrheit sagt, muß Bruno der Täter sein. Es können aber nicht zwei Täter sein.
    Angenommen Bruno lügt. Wegen seiner Aussage war er dann der Täter. Da aber Christoph dann nicht lügt, muß auch Dieter der Täter sein. Auch das geht nicht.
    Angenommen Christoph lügt. Dann sagen Dieter und Bruno die Wahrheit. Da sich deren Aussagen aber widersprechen, ist dieser Fall auch nicht möglich.
    Dann kann nur noch Dieter lügen. Wegen der Aussage von Christoph ist er der Täter.