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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
März/Mai 1999


  1. Für den Umfang U eines Kreises mit dem Radius r gilt: U=2*PI*r
    Nun betrachtet man, wie sich der Radius ändert, wenn man denn
    Kreisumfang um 1 erhöht.
    Ursprünglicher Umfang (Radius: r1):
    (I) U=2*PI*r1
    Umfang um 1 vergrößert (Radius: r2):
    (I) U+1=2*PI*r2
    U=(2*PI*r2)-1
    Kombination der obigen Gleichungen:
    (I,II) 2*PI*r1=(2*PI*r2)-1
    r1=r2-1/(2*PI)
    r2=r1+1/(2*PI)
    Das bedeutet, dass sich der Radius um 1/(2*PI) vergrößert haben muss, wenn der Umfang um 1 größer wurde. Dabei ist der ursprüngliche Umfang (in diesem Fall 40.000 km) nicht relevant. Der Abstand des imaginären Seils zum Erdboden beträgt demnach etwa 16 cm.

  2. Um die 14 Aussagen systematisch auswerten zu können, bietet sich eine Tabelle an, in der Zeilen und Spalten so gewaehlt werden, dass alle Eigenschaften untereinander verknüpft werden können. Benötigt werden dazu fünf mal fünf Spalten (Sitzplatz, Reiseziel, Sportart, Alter, Herkunft) und fünf mal fünf Zeilen (Beruf, Herkunft, Alter, Sportart, Reiseziel).
    Nun beginnt man durch setzen von Plus- und Minuszeichen, darzustellen, welche Eigenschaften zusammengehören und welche nicht.
    Beispiel:
    1) Der Ingenieur sitzt ganz links.
    Das Kästchen, das Sitzplatz "links" und Beruf "Ingenieur" verbindet, wird mit Plus gekennzeichnet, alle anderen "Berufe" sitzen nicht links (4 Mal Minus), der Ingenieur sitzt nicht auf einem anderen Platz (4 Mal Minus).
    Durch kombinieren lässt sich so nahezu jedes Kaätchen ausfüllen und es ergibt sich:
    Der Kapitän ist 40 Jahre alt. (Er ist übrigens Deutscher, spielt Handball und will nach Rostock...)
    Der Fußballer kommt aus der UdSSR. (Er ist Ingenieur, 52 Jahre alt und reist nach Leipzig...)

  3. Zunächst bildet man einige der durch 8 teilbaren Zahlen:
    z1=9-1=8*1
    z2=81-1=80=8*1+8*9
    z3=729-1=728=8*1+8*9+8*9*9
    z4=6560=8*1+8*9+8*9*9+8*9*9*9
    Man vermutet:
    Die Zahl zn ergibt sich aus zn=8*(9^0+9^2+9^3+...+9^(n-1))
    Damit wäre gezeigt, dass diese Zahl immer durch 8 teilbar ist.
    Bleibt nur noch, die Vermutung mathematisch zu beweisen. Dafür bietet sich das Verfahren der vollständigen Induktion an:

    1) Verankerung:
    Die Induktionsverankerung ist oben bereits für 4 Beispiele gezeigt,
    für die Formel (9^n)-1=(9^n)-1=8*(9^0+9^1+9^2+9^3+...+9^(n-1)) gilt.

    2) Induktionsschluss:
    (9^n)-1 = 8*(9^0+9^1+9^2+9^3+...+9^(n-1)) |+8*9^n
    (9^n)-1+8*9^n = 8*(9^0+9^1+9^2+9^3+...+9^(n-1)+9^n)
    (9^n)*(1+8)-1 = 8*(9^0+9^1+9^2+9^3+...+9^(n-1)+9^n)
    (9^n+1)-1 = 8*(9^0+9^1+9^2+9^3+...+9^(n-1)+9^n)
    Durch den Induktionsschluss wurde gezeigt, dass die Formel auch für das nächst höhere n gilt. (Schluss von n auf n+1).

    Verankerung und Schluss zusammen ergeben den Beweis für die Vermutung, die wiederum deutlich macht, dass alle zn durch 8 teilbar.