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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 7 und 8
Juni/August 1999

1. Aufgabe:

Da die Zahl durch 12 teilbar ist, ist sie gerade. Die Endziffer kann daher nur 0, 2, 4, 6 oder 8 sein. Die 8 kommt nicht vor. Die Endziffer kann auch nicht 4 oder kleiner sein, da sonst die 1. Eigenschaft nicht mehr erfüllt sein kann. Also ist die Endziffer 6.
Vor der 6 kann nur die Ziffer 4 oder 5 stehen (wegen der 1. Eigenschaft).
Die Zahl muß durch 4 teilbar sein, da sie durch 12 teilbar ist. Eine Zahl, die auf 46 endet, ist aber niemals durch 4 teilbar. Damit hat die gesuchte Zahl die Gestalt _ _ _ 5 6. Auf die freien Plätze müssen die Ziffern 1, 2, 3 oder 4 verteilt werden.
Es gibt nur die Möglichkeiten 12356, 12456, 13456, 23456. Mit der Quersummenregel findet man, daß nur 12456 durch 3 und damit durch 12 teilbar ist.

2. Aufgabe:

Es gibt verschiedene Rechteckgrößen in dieser Figur:
1x1-Rechtecke, 1x2-Rechtecke, 1x3-Rechtecke, 1x4-Rechtecke, 1x5-Rechtecke,
2x1- Rechtecke, 2x2-Rechtecke, ............. 2x5-Rechtecke,
.
.
.
5x1-Rechtecke, ............................ 5x5-Rechtecke
Das in der Aufgabenstellung eingezeichnete Rechteck ist ein 2x3-Rechteck.
Zu jeder Rechtecksorte muß die Anzahl bestimmt werden.
Als Beispiel wird das 2x3-Rechteck ausführlich betrachtet. Zeichnet man es in die linke obere Ecke der Figur ein, so kann man es noch auf zwei andere Positionen nach rechts und auf drei andere Positionen nach unten verschieben. Insgesamt gibt es von dieser Rechteckssorte also 12 Stück in der Figur.
Mit der gleichen Methode werden die Anzahlen der anderen Rechtecke untersucht, wobei man sich die Arbeit erleichtern kann, wenn man berücksichtigt, daß es natürlich genau so viele 3x2-Rechtecke wie 2x3-Rechtecke gibt. Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengestellt.

Rechtecksorte1x11x21x31x41x52x22x32x42x53x33x43x54x44x55x5
Anzahl252015105161284963421

Insgesamt gibt es als 225 Rechtecke in der Figur.

3. Aufgabe:

Der Winkel im linken Teildreieck bei M hat die Größe 180° - 30° - 40° = 110°.
Dann hat der Winkel bei M im rechten Teildreieck die Größe 180° - 110° = 70°.
Das rechte Teildreieck ist gleichschenklig. Die Basiswinkel sind gleich groß. Der gesuchte Winkel hat die Größe