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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
Juni/August 1999

1. Aufgabe:

Die unbekannte Seite von A werde a, die von C werde c und die von D werde d genannt.
Dann hat A den Inhalt 6a, C den Inhalt 10c und D den Inhalt 4d.
Die Fläche B setzt sich aus zwei Rechtecken zusammen. Das untere hat den Inhalt 4(a+4) und das obere den Inhalt 4(6-d).
Aus den Bedingungen über die Flächengrößen ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
6a = 10c und 6a = 12d und 6a = 4(a+4) + 4(6-d)
mit den Lösungen a=10, c=6 und d=5.

2. Aufgabe:

Der Term kann als Produkt geschrieben werden: . Es handelt sich somit um das Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen.

  1. Bei drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer eine durch 3 teilbare Zahl dabei, also ist das Produkt durch 3 teilbar.
  2. Bei drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist mindestens eine gerade Zahl dabei. Also ist das Produkt auch immer durch 6 teilbar.
  3. Ist der erste der drei Zahlen gerade, so ist es auch die dritte. Außerdem ist von zwei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen eine sogar durch 4 teilbar. Damit ist das Produkt durch 24 teilbar.

3. Aufgabe:

Wenn beide Schüler aus der 9c zwischen den Schülern aus der 9d angekommen wären, wären mindestens fünf Schüler zwischen denen aus der d angekommen, was nicht sein darf (D C _ _ _ C D).
Erst recht können nicht beide Schüler aus der 9d zwischen denen aus der 9c ankommen.
Wenn beide Schüler aus der 9c vor oder hinter den Schülern aus der 9 d angekommen wären, gäbe es mindestens 2+3+2+4=11 Schüler (C _ _ _ C D _ _ _ _ D) .
Also ist ein Schüler aus der 9c zwischen den Schülern aus der 9 d angekommen und einer davor oder dahinter.
Es gibt daher folgende Möglichkeiten, in die noch die Schüler aus 9a und 9b einsortiert werden müssen:

D _ _ _ C D _ _ C

D _ _ C _ D _ C

D _ C _ _ D C

und umgekehrt.
Im ersten Fall müßten insgesamt 9 Schüler ins Ziel gekommen sein, was nicht sein darf.
Im zweiten Fall gibt es für die Schüler aus der 9b nur eine Möglichkeit, daß zwei andere zwischen ihnen sind, nämlich D B _ C B D _ C. Dann wären aber die Schüler aus der 9a zu weit auseinander.
Nur im 3. Fall gibt es eine Möglichkeit: D A C A B D C B. die umgekehrte Reihenfolge ist auch möglich: B C D B A C A D.