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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
Juni/August 1999

1. Aufgabe:

Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden des 30°-Winkels, da alle Kreise Inkreise von Dreiecken mit diesem Winkel sind. Sei x der Abstand des Mittelpunktes des kleinsten Kreises vom Scheitelpunkt des 30°-Winkels. Dann ist also .

Der Mittelpunkt des zweiten Kreises hat dann vom Scheitelpunkt den Abstand , wobei der Radius dieses Kreises ist. Es ist .

Entsprechen gilt für den Radius des dritten Kreises:

.

Die Summe der Kreisflächen beträgt dann

Zu berechnen ist die Dreiecksfläche: . Die Grundseite setzt sich zusammen aus dem Stück vom Scheitelpunkt des 30°-Winkels bis zum Berührpunkt mit dem 3. Kreis und dem Radius zusammen:

Die Kreise überdecken somit etwa 71% der Dreicksfläche.

2. Aufgabe:

Die gesuchte Zahl habe die erste Ziffer n, die aus den restlichen Ziffern gebildete vierstellige Zahl werde x genannt. Die ursprüngliche Zahl hat dann den Wert 10 000n + x. Die neue Zahl hat den Wert 10x + n. Die Bedingung lautet somit: 4(10 000n + x) = 10x + n oder 39 999n = 6x oder 13 333n = 2x. Aus der letzten Gleichung folgt, daß n gerade sein muß. Da n die erste Ziffer der fünfstelligen Zahl ist, kann n nicht 0 sein. Bei den kleinsten Wert für n ist aber x bereits fünfstellig. Also gibt es keine Zahl mit der geforderten Eigenschaft.

3. Aufgabe:

Ausgehend vom Punkt (0/118) gelangt man zum Punkt (19/99), indem man auf der fallenden Geraden um 19 Punkte zurückläuft.

Der Punkt (0/118) hat die Nummer . geht man 19 Schritte zurück, gelangt man zum Punkt mit der Nummer 7121.