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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
November/Dezember 1999

Aufgabe 1:

  1. Die Lösung des Gleichungssystems lautet: .
    Die Lösung von Frank lautet: .
    Obwohl die Zahl 802 von 812 nur wenig abweicht, liegen die Lösungen der Gleichungssysteme extrem weit auseinander.
  2. Die Gleichungen können als Geradengleichungen interpretiert werden. Im eigentlichen Gleichungssystem hat die erste Gerade eine Steigung von und die zweite eine Steigung von . Die Steigungen sind etwa gleich. Die steilere Gerade schneidet die y-Achse bei 4, die andere Gerade bei 2. Deshalb muss der Schnittpunkt der beiden Geraden weit im negativen Bereich liegen.
    Die falsch aufgeschriebene Gerade hat nur eine andere Steigung, nämlich . Sie ist jetzt nicht so steil wie die zweite Gerade. Da die Schnittpunkte mit der y-Achse unverändert liegen, befindet sich der Schnittpunkt der Geraden jetzt weit im positiven Bereich.

Aufgabe 2:

x sei die Zahl, die aus den ersten Ziffern besteht, y sei die Zahl, die aus den beiden letzten Ziffern besteht. Die zu prüfende Zahl hat dann den Wert 100 × x +y. Statt dessen wird 2 × x +y  auf Teilbarkeit durch 7 geprüft.
Nun ist 100 × x + y = 98 × x + (2 × x + y) . 98 ist durch 7 teilbar. Die Summe 98 × x + (2 × x + y)  ist also genau dann durch 7 teilbar, wenn 2 × x + y durch 7 teilbar ist.

Aufgabe 3:

Wenn von den vier Zahlen eine auf 0 endet, endet das Produkt auch auf 0.
Wenn von den vier Zahlen eine auf 5 endet, endet das Produkt auf 0, da wenigstens eine gerade Zahl unter den vier Zahlen ist.
Zu untersuchen sind nur noch zwei Fälle:

  • die erste der aufeinanderfolgenden Zahlen endet auf 1. Dann enden die anderen auf 2, 3, 4, und das Produkt hat die Endziffer 4 ;
  • die erste der aufeinanderfolgenden Zahlen endet auf 6. Dann enden die anderen auf 7, 8, 9, und das Produkt hat die Endziffer 4 .
    Somit sind nur die Endziffern 0 oder 4 möglich.