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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
November/Dezember 1999

Aufgabe 1:

  1. Die Lösung des Gleichungssystems lautet: .
    Die Lösung von Frank lautet: .
    Obwohl die Zahl 802 von 812 nur wenig abweicht, liegen die Lösungen der Gleichungssysteme extrem weit auseinander.
  2. Die Gleichungen können als Geradengleichungen interpretiert werden. Im eigentlichen Gleichungssystem hat die erste Gerade eine Steigung von und die zweite eine Steigung von . Die Steigungen sind etwa gleich. Die steilere Gerade schneidet die y-Achse bei 4, die andere Gerade bei 2. Deshalb muss der Schnittpunkt der beiden Geraden weit im negativen Bereich liegen.
    Die falsch aufgeschriebene Gerade hat nur eine andere Steigung, nämlich . Sie ist jetzt nicht so steil wie die zweite Gerade. Da die Schnittpunkte mit der y-Achse unverändert liegen, befindet sich der Schnittpunkt der Geraden jetzt weit im positiven Bereich.

Aufgabe 2:

  1. Die Seitenlängen des Blattes seien a und b mit a>b. Dann hat das halbierte Blatt die Seitenlängen und b. Wegen der Ähnlichkeit sind die Verhältnisse gleich:
  2. Die Seitenlängen des Quaders seien a, b, c mit a<b<c. Der halbierte Quader habe die Seitenlängen a, b, mit . Wegen der Ähnlichkeit ist , also und .

Aufgabe 3:

In die Zeichnung sind noch einige Bezeichnungen und eine Hilfslinie eingefügt worden.

l1424.gif (2393 Byte)

Damit gilt mit Pythagoras: .
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt weiter: und .
Nun lassen sich alle Stücke berechnen:
Grundfläche des Daches: ac = 200
Dreieckige Seitenflächen:
Schräge Dachflächen:
Kaminfläche:
Damit beträgt die Gesamtfläche .

Volumenberechnung: Dach: ; Kamin: ; Gesamtvolumen 1238.