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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 7 und 8
März/Mai 2000

Aufgabe 1:

Wegen (1) ist die Zahl der Hühner durch 5 teilbar. Die kleinste Zahl von Hühnern ist dann 65. Dann gibt es 13 Hasen, also insgesamt 78 Tiere.
Die nächst größere Zahl von Hühnern ist 70. Dann gibt es 14 Hasen, insgesamt 84 Tiere.
Die nächst größere Zahl von Hühnern ist 75. Dann gibt es 15 Hasen, insgesamt 90 Tiere. Wegen (3) ist das aber nicht mehr möglich.
Somit gibt es zwei Lösungen dieser Aufgabe.

Aufgabe 2:

Mit A, B, C und D sollen die Zahlen der Eier bezeichnet werden, die die einzelnen Kinder gefunden haben. Dann kann man die Informationen aus der Aufgabe so schreiben:
(1) C < B
(2) A + B < C + D
(3) C + B = A + D

Nimmt man (1) und (2) zusammen, erhält man: A + B + C < C + D + B. Nimmt man nun auf beiden Seiten C und B wieder weg, erhält man A < D (4).

Nimmt man (2) und (3) zusammen, erhält man: A + B + C + B < C + D + A + D. Nimmt man auf beiden Seiten A und C weg, erhält man B + B < D + D, also B < D (5).

Damit ist schon bekannt, dass Dirk die meisten Eier gefunden hat.

Nun nehmen wir (2) und (3) zusammen, allerdings so, dass zu den Eiern von C und B in (3) noch die Eier von C und D hinzugefügt werden und zu denen von A und D die Eier von A und B, bekommen wir C + B + C + D > A + D + A + B. Nehmen wir auf beiden Seiten die Eier von B und D weg, ergibt sich C > A (6).

Aus (5), (1) und (6) zusammen ergibt sich die Reihenfolge D > B > C > A.

Aufgabe 3:

Die Summe ist 6-stellig, die Summanden sind 4-stellig bzw. 5 stellig. Die Summe muss also kleiner als 9999+99999=109998 sein. Deshalb ist O=1 und S=0.
Aus der Einerstelle ist zu sehen, dass ebenfalls R=0. In der Zehnerstelle ergibt die Summe E+E eine Zahl, die auf 0 endet. Da E nicht auch noch den Wert 0 haben kann, ist E=5.
In der Hunderterstelle ist S=0 und E=5. Es gibt einen Übertrag aus der Zehnerstelle. Also ist I=4.

 HA05N
+ 5450
10T50N

Wenn nun H=8 wäre, würde die Summe 8A05N+5450 nicht mehr 6-stellig werden. Deshalb muss H=9 sein.
In der Tausenderstelle ergibt sich ein Übertrag. Deshalb muss A den Wert 6, 7 oder haben.
Wenn A=6 wäre, wäre T=1. Der Wert 1 ist aber schon besetzt
Wenn A=7 wäre, wäre T=2. Für N würde einer der Werte 3, 6, 8 übrig bleiben.
Wenn A=8 wäre, wäre T=3. Für N würde einer der Werte 2, 6, 7 übrig bleiben.
Somit gibt es 6 verschiedene Lösungen:

 97053
+ 5450
102503

 

 97056
+ 5450
102506

 

 97058
  5450
102508

 

 98052
+ 5450
103502

 

 98056
+ 5450
103506

 

 98057
+ 5450
103507