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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
März/Mai 2000

Aufgabe 1:

BildL11_1amärapr00.gif (7343 Byte)

In der Zeichnung sind Hilfslinien und einige Bezeichnungen eingetragen.

Die gesamte Fläche setzt sich aus einem Quadrat und zwei rechtwinkligen Dreiecken zusammen. Die Seitenlänge des Quadrates (3 m) und damit je eine Kathethenlänge sind gegeben. Die zweite Kathete des unteren Dreiecks habe die Länge x. Nach dem Satz des Pythagoras läßt sich die Hypotenuse des unteren Dreiecks berechnen. Da der gesamte Zaun 10 m lang ist, ist auch die Länge der anderen Hypotenuse bekannt. Damit läßt sich die fehlende Kathete des oberen Dreiecks berechnen. Als Inhalt der Gesamtfläche ergibt sich somit . Johannes kann also unterschiedlich große Flächen erhalten.

Um herauszufinden, bei welcher Wahl von x die Fläche am größten wird, gibt es verschiedenen Möglichkeiten. Der Term für die Gesamtfläche kann als Funktionsterm aufgefaßt werden. Mit einem entsprechenden Programm kann der Graph ausgedruckt werden.

BildL11_1bmärapr00.gif (1747 Byte)

Es ist abzulesen, dass der Maximalwert bei x = 4 liegt.

Natürlich kann dieses Ergebnis auch durch eine Tabelle oder mit Hilfe der Differentialrechnung gewonnen werden.

Aufgabe 2:

Zur Lösung wird ein Koordinatensystem über das Feld gelegt. Der Nullpunkt liegt bei Rotfells Startpunkt, die Koordinatenachsen verlaufen entlang der Feldbegrenzungen.
Willibald bewegt sich auf einer Geraden mit der Steigung 0,5, die also einen Winkel von 26,57° zur x-Achse einschließt. Mit jedem Sprung von Rotfell bewegt er sich um in x-Richtung und um in y-Richtung weiter.

BildL11_2märapr00.gif (1500 Byte)

Sei (a/b) die Position von Willibald und (c/d) die Position von Rotfell vor dem Sprung. Dann errechnet sich die neue Position von Rotfell und . Dabei ist der Nenner gerade der Abstand zwischen Rotfell und Willibald.

In der Tabelle sind die Positionen von Willibald und Rotfell dargestellt.

Nr. des Sprungs von Rotfell

x-Koordinate

von Willibald

y-Koordinate von Willibald

x-Koordinate von Rotfell

y-Koordinate von Rotfell

Abstand zwischen Wiilibald und Rotfell

0

0,00

2,50

0,00

0,00

2,50

1

0,72

2,86

0,00

1,00

1,99

2

1,44

3,22

0,36

1,93

1,68

3

2,16

3,58

1,00

2,70

1,45

4

2,88

3,94

1,80

3,30

1,25

5

3,60

4,30

2,66

3,81

1,06

6

4,32

4,66

3,55

4,27

0,86

7

5,04

5,02

4,44

4,72

0,67

Aus der Tabelle ist zu sehen, dass Willibald die Höhle rechtzeitig erreicht.

Aufgabe 3:

Über das Feld wird eine Koordinatensystem gelegt, dessen Nullpunkt in der linken unteren Ecke sich befindet. Die Koordinatenachsen verlaufen entlang der Feldbegrenzungen. Dann lassen sich die Wege von Hoppel und Moppel durch Gleichungen beschreiben.
Aus den Koordinaten von C und D ergibt sich für Moppels Gerade eine Steigung von 1 und die Gleichung y = x – 100.
Die Koordinaten von A und B ergeben für Hoppels Gerade eine Steigung von – 0,3 und die Gleichung y = - 0,3x + 300.
Berechnet wird der Schnittpunkt der beiden Geraden: x – 100 = - 0,3 x + 300 also x 4000/13 » 307,7 und y » 207,7.
Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich die Strecken, die die beiden Hasen bis zum Schnittpunkt zurücklegen, berechnen.

BildL11_3märapr00.gif (2849 Byte)

Der Weg von Hoppel ist 27,6 m länger als der Weg von Moppel. Wenn er für dieses längere Stück 3 s benötigt, werden die Hasen zusammenstoßen. Das ist bei einer Geschwindigkeit von der Fall.