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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
Juni/August 2000

Aufgabe 1:



Das gleichseitige Dreieck hat den Flächeninhalt
.
2 Seiten des gesuchten Dreiecks sind ebenfalls a lang. Sie schließen einen Winkel von 360°-90°-90°-60°=120° ein.
Den Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks kann man auch so schreiben:
a·b·(sin gamma):2. In diesem Falle ist b=a. Der Sinus von 120° beträgt aber

Der Flächeninhalt des neuen Dreiecks beträgt also
.

und ist damit genauso groß wie der des gleichseitigen Dreiecks. q.e.d.

Aufgabe 2:

Eine Zahl endet auf Null, wenn eine beliebige Zahl mit 10 oder eine gerade Zahl mit 5 multipliziert wird.
10 und 50 erscheinen in 50! Je 5-mal als Faktor, gerade Zahlen sind hinreichend viele vorhanden.
25 kann man in 5 mal 5 und 50 in 5 mal 10 zerlegen, also kommt die Zahl 5 noch zusätzlich noch 2 mal vor.
Das Produkt 50! endet also auf 12 Nullen.

Aufgabe 3:

Das unterste Dreieck besteht aus 10+9+...+1 Kugeln:

Das nächst höhere Dreieck besteht aus 9+8+ ... + 1Kugeln (auf jeder Seite sind 9 Kugeln, da es zwischen den 10 Kugeln der untersten Schicht genau jeweils 9 Lücken gibt, in der die Kugeln der nächst höheren Schichte liegen).
Wieder ein Dreieck weiter oben liegen dann 8+7+...+1 Kugeln (eine Dreieckseite besteht dann aus 8 Kugeln).

Insgesamt ergeben sich dann:


Allgemein gilt:

Probe für n = 10: