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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
November/Dezember 2000

Aufgabe 1:

  1. In dem großen Würfel waren 64 kleine Würfel. Die Kantenlänge k beträgt also 4.
    k=3 ist nicht möglich, da eine Seitenfläche gefärbt sein muss, demnach max. 18 kleine Würfel nicht bunt sind.
    k=5 ist auch nicht möglich, da dann bereits mindestens 27 kleine Würfel nicht eingefärbt sein müssen.
    Andere Fälle scheiden aus.
  2. Es müssen drei Seiten gefärbt sein, d.h. es sind 2·16 + 8 kleine Würfel einmal einseitig gefärbt und davon 8 zweiseitig. Wir verfügen also über 40 gefärbte Teilkörper, folglich sind 24 Würfelchen nicht eingefärbt.
    Die Anordnung der Seiten ist so beschaffen, dass 2 Seiten gegenüberliegen und ein Fläche als Verbindung dient. Die 3 Flächen können nicht in einem Punkt zusammentreffen.

Aufgabe 2:

Sind a,b,c die Ziffern der gesuchten Zahl, dann gilt:
Das Produkt c ·7 endet auf 8. Daher muss c = 4 sein. Wegen 4 · 7 =28 entsteht in der Zehnerstelle ein Übertrag von 2. Das Produkt von b · 7 endet also auf 3 – 2 = 1, somit ist b = 3 und da aus ähnlicher Argumentation a · 7 auf 6 – 2 = 4 endet, folgt a = 2.
Die gesuchte Zahl ist also 234.

Aufgabe 3:

Aus der Buchstabenmenge { p, r, o, d, u, k, t } können nur folgende Wörter ( auch sinnlose) mit
4 Buchstaben gebildet werden.
  1. Kein Buchstabe darf wiederholt werden?

    Es gibt 7·6·5·4 = 840 verschiedene Wörter.
    Für die Besetzung der ersten Stelle gibt es 7 Möglichkeiten, für die 2. Stelle 6 Möglichkeiten, usw.
  2. Wiederholungen sind erlaubt?

    Es sind logischer Weise 7·7·7·7 =2401 Möglichkeiten.
  3. Ein Wort besteht aus 2 Konsonanten und 2 Vokalen der gegebenen Buchstabenmenge.

    Bei 5 K und 2 V kann man zunächst zwischen 5K auswählen, danach noch zwischen 4 K.
    Die Vokale ergeben 2 und dann nur noch eine Möglichkeit.
    Es gibt nun 6 verschiedene Möglichkeiten, 2 Vokale und 2 Konsonanten in Folge anzuordnen:
    KKVV, KVKV, KVVK, VKKV, VKVK, VVKK
    Jede einzelne Kombination ergibt eine Anzahl von 40 Wörtern, z.B.:
    KKVV-5·4·2·1= 40

    6·40 = 240 Es ergeben sich also 240 Wörter.