brlogo
untitled
   
   
   
 

Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
November/Dezember 2000

Aufgabe 1:

Lösung in Anlehnung an die Darstellung von Patrick Graf vom Marie-Curie-Gymnasium in Neuss:

Man untersucht eines der kongruenten Achtel - Dreiecke.

Die Antwort auf die Frage "Wieviel cm Leiste werden gebraucht?" ist . Sie ist aber nicht absolut, sondern ein Term mit x, da l von x abhängig ist.

Zunächst wird s berechnet. Dazu betrachten wir das kleine Dreieck mit s als Seite:

Mit dem Sinussatz wird s berechnet:



Jetzt muss noch l berechnet werden. Dazu wird das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige geteilt:

Damit kann man berechnen:


Der Gesamtumfang ist, wie oben gesagt, :



Das entspricht etwa 6,1229x + 33,1371.

Die Frage des Unterschieds kann man auf zwei verschiedene Arten lösen.

Erstens:
Für jedes Achtel-Dreieck ist der Unterschied:


Der gesamte Unterschied ist .

Zweitens:
Der Spiegelumfang ist , der Gesamtumfang ist . Also ist der Unterschied

.

Aufgabe 2:

 Der gerade Zylinder hat folgende Oberflächen- und Volumenformel:



gesucht ist nun das Verhältnis von h/r

Man kann die Volumenformel nach h auflösen und in die Oberflächenformel einsetzen:



Zur Bestimmung des globalen Minimums, wird die erste Ableitung gebildet und gleich 0 gesetzt.
Die 2. Ableitung ist größer als Null.



Die Gleichung ist nun nach r aufzulösen:



Gleiche Bedingungen müssen nun für h geschaffen werden:



Mit h=x·r müssen in die Gleichung lediglich noch die gefundenen Werte für r und h eingesetzt werden:



Demnach gilt für den optimalen Fall immer: h=2r
Der geringste Materialverbrauch ist nur bei diesem Verhältnis gegeben.

Ein Schüler bemerkte in seiner Lösung noch, dass der Zylinder von der Seite betrachtet wie ein Quadrat aussieht.

Aufgabe 3:

Wenn q eine vierstellige Quadratzahl mit den genannten Eigenschaften ist, gilt:

Es gibt eine natürliche Zahl a mit der Eigenschaft


ebenso gilt:



Weiterhin muss die Wurzel der gesuchten Zahl größer als 31 und kleiner als 82 sein.
Die gemäß der in der Aufgabe genannten Bedingung neu entstehende Quadratzahl ist ebenfalls eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft:



Nun gilt:
96 < a + b < 100

Wenn 3·11·101 = 3333 ist und alle drei Faktoren prim sind, gilt mit a+b=101 und b-a=33, dass
b=67 und a= 34 ist.
Also hat nur
q = 34²=1156
die geforderte Eigenschaft.
Zudem erfüllt 1156+3333=4489=67² auch die Eigenschaft von Aufgabenteil b).