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Januar/Februar 2001

  1. Die Zahl 2001 soll so in vier verschiedene positive, ganzzahlige Summanden zerlegt werden, dass der Abstand des dritten Summanden vom ersten doppelt so groß, der Abstand des vierten Summanden vom ersten viermal so groß ist wie der Abstand des zweiten Summanden vom ersten. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
  2. Gaby, Hans und Jürgen machten eine Schneeballschlacht. Folgende Informationen sind über die Schlacht bekannt geworden:
  • Jeder dritte geworfene Ball hat auch jemanden getroffen.
  • Gaby hat ein Drittel aller Schneebälle geworfen, aber die Hälfte aller Treffer erzielt. Außerdem hat die Hälfte ihrer Würfe getroffen.
  • Jeder der drei wurde gleich oft getroffen.
  • Hans wurde so oft getroffen, wie er selber Treffer erzielt hat.
  • Der Anteil an Treffern bei den von Hans und Jürgen geworfenen Bällen war gleich groß.

Bestimme aus diesen Angaben, wie viele Bälle jeder geworfen hat, wie oft jeder getroffen hat und wie oft jeder getroffen wurde.
Falls es mehrere Möglichkeiten gibt, gib alle an.

  1. Gesucht ist eine achtstellige Zahl, die nicht die Ziffer 0 enthält. Das Quadrat der ersten Ziffer ist die Zahl die aus den beiden letzten Ziffern gebildet wird. Das Quadrat der fünften Ziffer ist die Zahl, die aus der dritten und vierten Ziffer gebildet wird. An der dritten, vierten und fünften Stelle kommen nur zwei verschiedene Ziffern vor. Sonst sind alle Ziffern voneinander verschieden. Außerdem ist die zweite Ziffer das Dreifache der sechsten Ziffer.
    Gib alle Zahlen an, die diese Bedingungen erfüllen, und begründe, dass es außer den von dir genannten keine weiteren gibt.

März/Mai 2001

  1. Ein Kreisausschnitt mit einem Mittelpunktswinkel von 60° wird durch eine Senkrechte zur Symmetrieachse (Winkelhalbierenden) so zerlegt, dass beide Teile denselben Umfang haben.
    Welcher von beiden Teilen hat den größeren Flächeninhalt?



  2. Gegeben ist ein Dreieck ABC mit AC = b = 7 cm, BC = a = 8 cm und dem Winkel
    BCA = = 81°. Die Seitenhalbierende sa hat den Endpunkt D und der Winkel ADC heißt !


    Die Seitenhalbierende von a schneidet die Winkelhalbierende von in F.
    Wie lang ist CF = e ?

  3. Gibt es in einer Ebene mit einem x,y Koordinatensystem eine Kreislinie, die keinen Punkt besitzt, für den beide Koordinaten rational sind?
    Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich!

 

Juni/August 2001

  1. Wie viel Prozent der inneren Kreisfläche ist eingefärbt?

  2. Die Benzinpreise verändern sich dauernd. In der Tabelle sind für jeden Monat die Veränderungen in Prozent gegenüber dem Vormonat angeben:

    Januar

    Februar

    März

    April

    Mai

    Juni

    + 3%

    + 5%

    - 2%

    + 3 %

    - 4 %

    + 6%

    Wie groß ist die durchschnittliche Benzinpreisänderung in Prozent während dieser 6 Monate?
  3. Entwickle eine allgemeine Formel zur Berechnung des Durchschnitts von prozentualen Änderungen.

September/Oktober 2001

  1. Bestimmen Sie allgemein den Inhalt der dargestellten "Vierecksfläche" ABCD!

    Wie groß ist die Fläche A für a = 5cm?

  2. Drei natürliche Zahlen a, b, c mit



    für die die Gleichung gilt, nennt man ein Pythagoreisches Zahlentripel.

    Zeigen Sie: In jedem Tripel dieser Art muss sein.

  3. Gute Reise
    1. 4 Orte A,B,C und D sollen durch Eisenbahnlinien verbunden werden und zwar so, dass jeder Ort von jedem Ort auf genau eine Weise erreicht werden kann. Kreuzungen sind erlaubt.
      Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    2. Erläutern Sie das Problem auch für 5 Orte!
    3. Kann man sofort ausrechnen, wie viele Verbindungen es für 6 oder mehr Orte ergibt?

Hier sind ein paar Beispiele für unterschiedliche Verbindungsnetze:

November/Dezember 2001

  1. Professor Wurzel ist Mathematiker und ein Sonderling. Er möchte an seinem Adventskranz jeden Sonntag die Kerzen eine Stunde lang anzünden, natürlich am ersten Adventssonntag nur eine Kerze, am zweiten zwei Kerzen usw. Außerdem möchte er, dass nach dem vierten Adventssonntag alle Kerzen gleich weit heruntergebrannt sind. Wie kann er das schaffen?
    Selbstverständlich waren alle Kerzen gleich lang, als der Professor den Adventskranz kaufte. Er schneidet auch keine Stücke von den Kerzen ab.
  1. Schon seit Monaten gibt es in den Geschäften Lebkuchen, Weihnachtsmänner aus Schokolade, Christstollen. Jetzt fordern die Händler auch noch die Verlängerung der Adventszeit auf 5 Wochen. Die Adventskränze werden dann natürlich 5 Kerzen haben müssen. Professor Wurzel aus der ersten Aufgabe ist übrigens auch sehr dafür, denn bei einem solchen Adventskranz wird es für ihn einfacher, dass am Ende alle Kerzen gleich weit abgebrannt sind.
    Untersuche, warum das für ihn einfacher wird.
    Wie wird es sein, wenn es sogar eine Verlängerung auf 6 Wochen geben sollte?
    Untersuche allgemein, bei welchen Wochenzahlen es für Professor Wurzel leicht ist und bei welchen es schwieriger wird. Gib eine Begründung für Dein Ergebnis.

  2. Professor Wurzel hat zusätzlich noch eine kugelförmige Kerze gekauft. Er möchte, dass sie an jedem Adventssonntag gleich lange brennt und nach dem 4. Sonntag völlig abgebrannt ist. Wie kann er herausfinden, wie lange die Kerze jeden Sonntag brennen darf?

 

Viel Spaß beim Lösen wünscht der Mathe-Treff der Bezirksregierung Düsseldorf!
http://www.mathetreff.de

Die Lösungen finden sich im Knobel-Archiv.