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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 7 und 8
Januar/Februar 2001

Aufgabe 1:

Es muss versucht werden, die Zahl 2001 als Produkt mit zwei Faktoren zu schreiben. Dabei darf die 1 als Faktor nicht vorkommen. Es ist 2001 = 3 ·23·29. Deshalb gibt es die folgenden Möglichkeiten:

  • 3 Reihen mit je 667 Tulpen,
  • 23 Reihen mit je 87 Tulpen,
  • 29 Reihen mit je 69 Tulpen,
  • 69 Reihen mit je 29 Tulpen,
  • 87 Reihen mit je 23 Tulpen,
  • 667 Reihen mit je 3 Tulpen.

Die Zerlegung der Zahl 2000 in Primfaktoren lautet: 2000 = 24·53. Um alle Teiler zu finden hat man die Möglichkeit 0-mal, 1-mal, 2-mal, 3-mal oder 4-mal den Primfaktor 2 zu wählen und 0-mal, 1-mal, 2-mal oder 3-mal den Primfaktor 5 zu wählen. Somit gibt es 5·4 = 20 Möglichkeiten die Zahl 2000 als Produkt aus 2 Faktoren zu schreiben. Die Produkte 1·2000 bzw. 2000·1 sind nach der Aufgabenstellung nicht möglich. Somit gab es 18 Möglichkeiten für die Bepflanzung des Beetes.

Aufgabe 2:

Die Informationen werden am einfachsten in einer Tabelle übersichtlich dargestellt. Aus den vier Sportarten kann man genau 6 Zweierkombinationen bilden: L – A, L – R, L – E, A – R, A – E, R – E. Jede Sportart kommt somit in genau drei Kombinationen vor:

Da Gisela noch nie auf Skiern gestanden hat, muss sie die beiden anderen Sportarten ausüben. Da Inge und Gisela sich nie treffen, übt Gisela die beiden Skisportarten aus. (rote Eintragungen)

Helmut und Fritz machen beide Abfahrtslauf. Sie können nicht auch noch Langlauf machen, da diese Kombination schon vergeben ist. Damit kommt der Abfahrtslauf schon dreimal in der Tabelle vor, weitere Personen können diese Sportart nicht ausüben. (grüne Eintragungen)

Doris und Emil müssen Langlauf machen, denn sonst würden sie rodeln und eislaufen, und diese Kombination hat Gisela schon. Keine weitere Person kann Langlauf machen. (blaue Eintragung)

Weitere Informationen können aus der Aufgabe nicht abgelesen werden. Somit gibt es die folgenden vier Lösungen der Aufgabe:

Aufgabe 3:

Die Zahlen 31 und 37 kann man nicht als Produkt mit drei verschiedenen Faktoren schreiben. Bei den Zahlen 33, 34, 35, 38 und 39 ist das jeweils auf genau eine Art möglich: 33 = 1·3·11; 34 = 1·2·17; 35 = 1·5·7; 38 = 1·2·19; 39 = 1·3·13. Bei der Zahl 32 gibt es zwei Möglichkeiten: 32 = 1·2·16; 32 = 1·4·8. Bei der Zahl 36 gibt es vier Möglichkeiten: 36 = 1·2·18; 36 = 1·3·12; 36 = 1·4·9; 36 = 2·3·6

Mögliche Vogelzahlen sind also:

1 Blaumeise – 3 Kohlmeisen – 11 Spatzen

1 Blaumeise – 2 Kohlmeisen – 16 Spatzen

1 Blaumeise – 4 Kohlmeisen – 8 Spatzen

1 Blaumeise – 2 Kohlmeisen – 17 Spatzen

1 Blaumeise – 5 Kohlmeisen – 7 Spatzen

1 Blaumeise – 2 Kohlmeisen – 18 Spatzen

1 Blaumeise – 3 Kohlmeisen – 12 Spatzen

1 Blaumeise – 4 Kohlmeisen – 9 Spatzen

2 Blaumeisen – 3 Kohlmeisen – 6 Spatzen

1 Blaumeise – 2 Kohlmeisen – 19 Spatzen

1 Blaumeise – 3 Kohlmeisen – 13 Spatzen