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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
Januar/Februar 2001

Aufgabe 1:

Der erste Summand sei x. Dann sind die weiteren Summanden x + d; x + 2d; x + 3d, x + 4d und x + 5d. Die Summe beträgt 6x + 15d = 2001. Aufgelöst nach x ergibt sich .

Wenn d eine gerade Zahl ist, ist 2001 – 15d ungerade, kann also nicht durch 6 teilbar sein. Sei also d eine ungerade Zahl: d = 2n-1. Dann ist 2001 – 15d = 2001 – 15(2n-1) = 2016 – 30n. Dieser Ausdruck ist für jede Zahl n durch 6 teilbar. Für d kann also jede ungerade Zahl bis maximal 133 gewählt werden, da 15·134 > 2001. Das sind 67 ungerade Zahlen, also kann man die Summe auf 67 Arten schreiben.

Aufgabe 2:

Die Informationen aus der Aufgabe lassen sich wie in der Tabelle dargestellt ausdrücken:

 

geworfen

getroffen

getroffen worden

Gaby

x = (x + u + v)/3

x/2 = u/n + v/n

y

Hans

u

u/n

y = u/n

Jürgen

v

v/n

y

Summe

x + u + v

(x + u + v)/3 = x/2 + u/n + v/n

3y = x/2 + u/n + v/n

Aus der Eintragung bei den Bällen, die Gaby geworfen hat, ergibt sich 2x = u + v. (1)
Zusammen mit der Eintragung bei den von Gaby geworfenen Bällen ergibt sich:
x/2 = (u + v)/4 = (u + v)/n, also (u – v)(1/4 –1/n) = 0.
Das bedeutet, dass entweder n = 4 oder u = v.

Zunächst wird der Fall n = 4 betrachtet.

Die Eintragung bei den Bällen, von denen Hans getroffen wurde, lautet jetzt y = u/4. (2) Eingesetzt bei der Summe der Treffer ergibt sich 3y = x/2 + y + v/4 oder y = x/4 + v/8 (3)

Aus der Bedingung, dass die Anzahl der Bälle, von denen Personen getroffen wurden, ein Drittel der Gesamtzahl ist, ergibt sich 9y = x + u + v. Zusammen mit der Information (2) erhält man 5y = x + v (4)

Wird aus (3) und (4) y eliminiert, ergibt sich x = 3/2 v (5)

Wird (5) wiederum in (4) eingesetzt, ergibt sich v = 2y (6)

Die Kombination von (5) und (6) ergibt x = 3y (7)

Durch diese Ergebnisse lassen sich alle Variablen in Abhängigkeit von x ausdrücken:

(7): y = x/3

(5): v = 2/3 x

(2): u = 4/3 x

Damit muss x durch 3 teilbar sein. Außerdem muss v durch 4 teilbar sein. Wegen (5) muss x daher durch 2 teilbar sein. Also muss x insgesamt durch 6 teilbar sein.

Es wird nun behauptet, dass jede durch 6 teilbare Zahl x zu einer Lösung führt: der Beweis wird durch Eintragen in die obige Tabelle geführt:

 

geworfen

getroffen

getroffen worden

Gaby

x

x/2

x/3

Hans

4/3 x

x/3

x/3

Jürgen

2/3 x

x/6

x/3

Summe

3 x

x

x

Zu betrachten ist noch der Fall u = v. Wegen x + u + v = 3x ist dann u = v = x. Wegen x/2 + x/n + x/n = x ist auch in diesem Fall n = 4. Dann wäre aber Hans von x/4 Bällen getroffen worden und alle anderen auch. Das würde bedeuten, dass die Personen insgesamt von 3/4x Bällen getroffen wurden, aber x Bälle getroffen haben. Das wiederum geht nur, wenn x = 0, also wenn gar keine Schneeballschlacht stattgefunden hat.

Aufgabe 3:

Die gesuchte Zahl endet auf 0 oder auf 5. Da die ersten drei Ziffern eine um 136 größere Quadratzahl bilden, werden alle 3-stelligen Quadratzahlen gesucht, die auf 6 oder 1 enden. Quadratzahlen enden auf 6, wenn die quadrierte Zahl auf 4 oder 6 endet. Sie enden auf 1, wenn die quadrierte Zahl auf 1 oder 9 endet. Alle Zahlen werden nun systematisch durchprobiert. Begonnen wird mit 142. Die Untersuchung ist bei 312 beendet.

erste Hälfte der Zahl

zweite Hälfte der Zahl

Zahl

Anzahl gerader Ziffern = Anzahl ungerader Ziffern?

142 = 196

196 – 136 = 060

196 060

nein

162 = 256

256 – 136 = 120

256 120

nein

192 = 361

361 – 136 = 225

361 225

ja, aber 2 ist doppelt

212 = 441

441 – 136 = 305

441 305

ja, aber 4 ist doppelt

242 = 576

576 – 136 = 440

576 440

nein

262 = 676

676 – 136 = 540

676 540

nein

292 = 841

841 – 136 = 705

841 705

ja

312 = 961

961 – 136 = 825

961 825

ja

Somit gibt es genau zwei Lösungen: 841 705 und 961 825.