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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
Januar/Februar 2001

Aufgabe 1:

Sei x der erste Summand. Die weiteren Summanden sind dann x + d, x + 2 d, x + 4 d. Die Summe ist 4x + 7 d = 2001; aufgelöst nach x: . Der Zähler dieses Bruches muss durch 4 teilbar sein. Zahlen, die durch 4 teilbar sind, enden nur auf 0, 4, 8, 2, 6. Von 2001 sind also Vielfache von 7 zu subtrahieren, die auf 1, 7, 3, 9 oder 5 enden. Damit kann d auf 3, 1, 9, 7 oder 5 enden, also d muss ungerade sein. Probiert man einmal einige ungerade Zahlen durch, kommt man zu der Vermutung, dass nur jede zweite ungerade Zahl für d eingesetzt werden kann. Konkret vermutet man: Wenn d sich in der Form d = 4n – 1 schreiben läßt, ergibt sich eine Lösung, wenn d sich in der Form d = 4n – 3 schreiben läßt, gibt es keine.

Diese Vermutung wird durch nachrechnen bestätigt:

Sei d = 4n – 1. Dann ist 2001 – 7 d = 2001 – 28n + 7 = 2008 – 28n. Das ist stets durch 4 teilbar.

Sei d = 4n – 3. Dann ist 2001 – 7 d = 2001 – 28n + 21 = 2022 – 28n. Da 2022 nicht durch 4 teilbar ist, 28n aber durch 4 teilbar ist, kann die Differenz nicht durch 4 teilbar sein. Da x > 0 ist, muss d £ 283 sein. Da 283 = 4× 71 – 1, gibt es 71 Lösungen.

Aufgabe 2:

siehe Aufgabe 2 der Lösungen 9/10

Aufgabe 3:

Wir beginnen mit der Bedingung, dass an der dritten, vierten und fünften Stelle nur 2 verschiedene Ziffern stehen, wobei die Zahl aus den Ziffern 3 und 4 das Quadrat der Ziffer 5 ist. Hier ist nur die Kombination 255 oder 366 möglich, da die Ziffer 0 nicht vorkommen darf.

Diese beiden Fälle werden nun getrennt untersucht:

Die Zahl laute - - 255 - - -. Da die zweite Ziffer das Dreifache der sechsten Ziffer ist, und die Ziffer 2 nicht mehr vorkommen darf, gibt es nur die Möglichkeiten: - 32551 - - oder - 92553 - -. Die erste Ziffer muss mindestens den Wert 4 haben, damit nicht die vorletzte Ziffer eine 0 wird.

Bei der ersten Möglichkeit lassen sich die freien Stellen wie folgt ergänzen: 73255149 oder 83255164.

Bei der zweiten Möglichkeit sind folgende Ergänzungen möglich: 49255316 oder 89255364

Wenn die Zahl in der Mitte die Ziffernfolge 336 hat, führt die Bedingung über das Dreifache der sechsten Ziffer stets zu einer Zahl, in der einzelne Ziffern zu oft vorkommen:

- 33661 - - oder - 63662 - - oder - 93663 - -.

Somit gibt es genau 4 Lösungen.