brlogo
untitled
   
   
   
 

Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 7 und 8
März/Mai 2001

Aufgabe 1:

Es ist einfacher , den Weg des Besuchers rückwärts zu verfolgen.
Als er das 7. Tor passiert hatte, hatte er noch einen Apfel, daher
musste er zuvor noch (1+1)·2 = 4 Äpfel gehabt haben.
Diese tabellarische Übersicht mag das veranschaulichen:

    1. (1+1)·2 = 4
    2. (4 + 1)·2 = 10
    3. (10 + 1)·2 = 22
    4. (22 + 1)·2 = 46
    5. (46 + 1)·2 = 94
    6. (94 + 1)·2 = 190
    7. (190 + 1)·2 = 382

Der Besucher bekam 382 Äpfel.

Zu dieser Aufgabe erhielten wir die Überlegung eines Schülers:

Wie hat er die Äpfel getragen?!?

Aufgabe 2:

Diese Lösung ist von Heiko Adler vom Goethe Gymnasium in Emmendingen:

Er schrieb:

Als Maßstab galt mir ein Gitternetz mit dem Abstand 1cm:

Als erstens versuchte ich eine Figur zu finden, die 3 Außen- und keinen Innenpunkt hat. Ich berechnete den Flächeninhalt dieser Figur und erhielt ½ qcm.
Nun suchte ich eine Figur, die wiederum 3 Außen- und keinen Innenpunkt hat, bei der ich aber einen Außenpunkt so verschieben kann, dass kein zusätzlicher Außen- oder Innenpunkt dazu kommt. Ich stellte fest, das bei jedem so erhaltenem Dreieck der Flächeninhalt ½ qcm betrug.
Halte ich fest: Bei einer Figur mit 3 Außen- und keinem Innenpunkt beträgt der Flächeninhalt ½ qcm.
Nun suchte ich eine Figur, die 3 Außenpunkte hat und bei der ich einen Außenpunkt so verschieben kann, das je ein Innenpunkt hinzukommt. Ich rechnete bei jeder so erhaltenen Figur den Flächeninhalt aus und schrieb es in eine Tabelle:

Außenpunkte

Innenpunkte

Flächeninhalt

3

0

½ cm²

3

1

1½ cm²

3

2

2½ cm²

3

3

3½ cm²

3

4

4½ cm²

3

5

5½ cm²

Verdacht: pro Innenpunkt erhält die Figur 1 cm² dazu!

Jetzt versuchte ich eine Figur zu finden, die 4 Außen- und keinen Innenpunkt hat. Ich berechnete den Flächeninhalt dieser Figur und erhielt nun 1 cm².
Nun suchte ich wie oben eine Figur, die 4 Außen- und keinen Innenpunkt hat, bei der ich aber einen Außenpunkt so verschieben kann, dass kein zusätzlicher Außen- oder Innenpunkt dazu kommt. Ich stellte fest, das bei jeder so erhaltenem Figur der Flächeninhalt 1 cm² betrug.

Halte ich fest: Bei einer Figur mit 4 Außen- und keinem Innenpunkt ist der Flächeninhalt 1 qcm.

Nun suchte ich eine Figur, die 4 Außenpunkte hat und bei der ich einen Außenpunkt so verschieben kann, das je ein Innenpunkt hinzukommt. Ich rechnet bei jeder so erhaltenen Figur den Flächeninhalt aus und schrieb es in eine neue Tabelle:

Außenpunkte

Innenpunkte

Flächeninhalt

4

0

1 cm²

4

1

2 cm²

4

2

3 cm²

4

3

4 cm²

4

4

5 cm²

4

5

6 cm²

Auch hier bestätigt sich der Verdacht: pro Innenpunkt erhält die Figur 1 cm² dazu!

Zu guter Letzt versuchte ich eine Figur zu finden, die 5 Außen- und keinen Innenpunkt hat. Ich berechnete den Flächeninhalt dieser Figur und erhielt 1½ cm².
Nun suchte ich erneut eine Figur, die 5 Außen- und keinen Innenpunkt hat, bei der ich aber einen Außenpunkt so verschieben kann, dass kein zusätzlicher Außen- oder Innenpunkt dazu kommt. Ich stellte fest, das bei jeder so erhaltenem Figur der Flächeninhalt 1½ cm² betrug.

Halte ich fest: Bei einer Figur mit 5 Außen- und keinem Innenpunkt ist der Flächeninhalt 1½ cm².

Nun suchte ich eine Figur, die 5 Außenpunkte hat und bei der ich einen Außenpunkt so verschieben kann, das je ein Innenpunkt hinzukommt. Ich rechnet bei jeder so erhaltenen Figur den Flächeninhalt aus und schrieb es in eine Tabelle:

Außenpunkte

Innenpunkte

Flächeninhalt

5

0

1½ cm²

5

1

2½ cm²

5

2

3½ cm²

5

3

4½ cm²

5

4

5½ cm²

5

5

6½ cm²

Nun ist es sicher: Pro Innenpunkt erhält die Figur 1 qcm dazu!

Wenn wir die Figuren, die keinen Innenpunkt haben, vergleichen so sehen wir, dass pro Außenpunkt ½ qcm dazukommt

Wir erhalten die Formel:

R: Außenpunkte
I: Innenpunkte
A: Flächeninhalt



Weil eine Figur mindestens 3 Außenpunkte hat und somit der +½-Schritt erst bei 3 Außenpunkten beginnt muss ich (x – 2) rechnen und das Ergebnis mit ½ multiplizieren. Nun muss ich nur noch die Innenpunkte addieren: +y

Aufgabe 3:

Die Anzahl der Personen in der oberen Etage wird mit x bezeichnet, die mittlere Etage mit
y, die untere mit z. Die Aufgabe führt dann zu folgendem Gleichungssystem:



Auflösen ergibt:



Also wohnen oben 12 Leute, in der Mitte 30 und unten 18.