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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
März/Mai 2001

Aufgabe 1:

Die beiden Zahlen kann man so schreiben:



Ihr Produkt ist dann:



Das Addieren des Einers der einen Zahl zur anderen Zahl ergibt folgenden Wert:



Eine Null anhängen bedeutet mit 10 multiplizieren:



Das Produkt der beiden Einer ist ,
dieses Produkt wird jetzt addiert:



Das entspricht dem oben berechneten Produkt.

Das Verfahren funktioniert nicht bei Zahlen größer als 19. Hier müsste man andere Verfahren entwickeln.

Aufgabe 2:

Der erste Teil der Lösung ist identisch mit der entsprechenden Aufgabe der Stufe 7/8.

  1. siehe Stufe 7/8
  2. Feld A: 5 cm² ; Feld B: 19 cm²
  3. Hierzu hat Johannes Reim folgende nette Überlegung gezeigt:
    Im folgenden bezeichnet er Randpunkte mit R und Innenpunkte mit I.
    Ein Quadrat der Länge 1hat nur 4R, so geht er davon aus, dass 4R=1cm² ist.
    Nun betrachtet er ein Rechteck der Länge 2 und Breite 1:
    Es enthält bei 6 R und 2 I einen Flächeninhalt von 2cm².
    Er schließt, dass (R-2) / 2 die cm² ergeben.
    Zur Bestimmung von I betrachtet er ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 mit 8R und 1I.
    Nach oben genannter Formel wären es 3cm², fehlt nur noch 1cm², das ist I.
    1I entspricht 1cm²

    Die Formel zur Bestimmung des Flächeninhaltes A ist somit:



    Er überprüft dies durch weitere Vielecke:

    1. 3*1 entsprechen 8 R und 0 I, somit 3cm²

    2. 4*1 entsprechen 10 R und 0 I, somit 4cm²

    3. 5*1 entsprechen 8 R und 0 I, somit 5cm²

    Man sieht also: Wenn man zwei R hinzufügt, kommt 1cm² hinzu.

    4. 2*2 entsprechen 8 R und 1 I, somit 4cm²
    5. 2*3 entsprechen 10 R und 1 I, somit 6cm²
    6. 2*4 entsprechen 12 R und 1 I, somit 8cm²

    Wenn man 1I hinzufügt wird die Fläche um 1cm² größer.
  4. Bei Vielecken mit Löchern bestimmt man den gesamten Flächeninhalt und subtrahiert anschließend den Flächeninhalt der Löcher.
    Die Formel lässt sich dann auch verändern:

Randpunkte (R), Innenpunkte (I), Löcher (L),
Randpunkte der Löcher (LR), Innenpunkte der Löcher (LI)

Das hier gezeigte Vieleck hat also einen Flächeninhalt von 49 ( cm² ).

Aufgabe 3:

Die beiden Seiten seien x und y. Es gilt also .
Der Flächeninhalt ist dann



Für x = 6 liegt ein globales Maximum vor, S ist der Hochpunkt der quadratischen Funktion.

Die Seiten des Rechtecks haben also alle die Länge 6 cm.
Das Quadrat hat den Umfang U = 24 cm und den Flächeninhalt A = 36 cm².