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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
März/Mai 2001

Aufgabe 1:

Diese Lösung stammt von Patrick Graf vom Marie-Curie-Gymnasium in Neuss:

Zuerst wird bestimmt, wie groß a im Verhältnis zu r sein muss, damit die beiden Teile denselben Flächeninhalt haben. Das Dreieck MBE ist gleichseitig, sein Umfang ist daher gleich 3a. Der Umfang des anderen Teils, BCDE, lässt sich berechnen, indem man die einzelnen Teilstücke BC, CD, DE und EB berechnet.

BC und DE sind gleich groß, nämlich . EB ist gleich a. CD ist ein Kreisausschnitt, die Formel ergibt

Der Gesamtumfang ist daher:


Die Umfänge der beiden Teile sind aber gleich:



Das ist das Verhältnis von a zu r, wenn die Bedingung der Aufgabe erfüllt ist. Der gesamte Kreisausschnitt hat den Flächeninhalt . Diese beiden Flächeninhalte lassen sich in Abhängigkeit von r schreiben. Um das Verhältnis zwischen den Flächeninhalten der beiden Teile zu berechnen, stellt man die Gleichung auf und löst sie nach x auf. x ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die den Anteil von MBE an MCD angibt. Liegt sie zum Beispiel bei 0,5, dann sind MBE und BCDE gleich groß. Der Flächeninhalt von MBE läßt sich in Abhängigkeit von r leicht berechnen, weil es sich um ein gleichseitiges
Dreieck handelt. Er ist gleich:


Jetzt kann man die Gleichung aufstellen:


Umformen ergibt schließlich:


Also ist MBE etwas kleiner als BCDE.

Aufgabe 2:

Die Seitenhalbierende sa lässt sich mit dem Kosinussatz berechnen:


Daraus folgt für Winkel e ( nach Sinussatz):



Es gilt weiterhin:

Jetzt kann man e berechnen:



Also ist e etwa 3,8712 cm lang.

Aufgabe 3:

Die Antwort auf diese Frage ist zu bejahen.
Als Nachweis genügt die Angabe eines Kreises als Beispiel und der Nachweis, dass für keinen Punkt dieses Kreises beide Koordinaten rational sind.
Man wähle zum Beispiel einen Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius



Wären seine Koordinaten x und y rational, so müsste auch die Summe der Quadrate
x² + y² = r² rational sein.
Dies führt aber auf den Widerspruch, dass der Term rational sein müsste.