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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
Juni/August 2001

Aufgabe 1:

Die Seitenlänge des Quadrates wird mit a bezeichnet. Der Kreis hat dann den Radius . Die vier Viertelkreise haben ebenfalls diesen Radius. Wird von der Quadratfläche AQ die Fläche der vier Viertelkreise abgezogen, ergibt sich die Fläche des inneren, sternförmigen Gebildes AS. Wird diese Fläche wiederum von der Kreisfläche AK abgezogen, ergibt sich die eingefärbte Fläche AF: . Der Anteil an der inneren Kreisfläche beträgt dann , also etwa 72,68%.

Aufgabe 2:

Der Benzinpreis Anfang Januar wird mit K bezeichnet. Dann ergibt sich der Preis Ende Juni als 
K× 1,03× 1,05× 0,98× 1,03× 0,96× 1,06 » 1,1109× K. 
Der Preis ist also insgesamt um etwa 11,09% gestiegen. Der Durchschnittswert ergibt sich als Faktor, mit dem K sechsmal multipliziert werden muss, damit das Ergebnis 1,1109× K beträgt. Also ist er . Die durchschnittliche Preiserhöhung betrug somit etwa 1,77%.

Aufgabe 3:

Es soll der Durchschnitt der n prozentualen Änderungen p1, .... , pn berechnet werden. 
Der neue Wert ergibt sich dann durch Multiplikation mit
Der Durchschnittswert beträgt mit der gleichen Überlegung wie in Aufgabe 2
Die durchschnittliche prozentuale Steigerung ist dann .