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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
November/Dezember 2001

Aufgabe 1:

Die gesamte Brennzeit der Kerzen beträgt 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Stunden. Verteilt auf 4 Kerzen muss somit während der Adventszeit jede Kerze 2,5 Stunden brennen. Das geht nur dann, wenn an wenigstens einem Sonntag zwischendurch Kerzen ausgemacht und dafür andere angezündet werden.
Eine mögliche Lösung ist:

 

Kerze 1

Kerze 2

Kerze 3

Kerze 4

Sonntag 1

1 Stunde

     

Sonntag 2

0,5 Stunden

0,5 Stunden

0,5 Stunden

0,5 Stunden

Sonntag 3

 

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

Sonntag 4

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

Aufgabe 2:

Bei 5 Wochen beträgt die gesamte Brennzeit 15 Stunden, das bedeutet, jede Kerze muss 3 Stunden lang brennen. Deshalb gibt es Lösungen, bei denen nicht zwischendurch Kerzen gelöscht werden müssen.
Eine mögliche Lösung ist:

 

Kerze 1

Kerze 2

Kerze 3

Kerze 4

Kerze 5

Sonntag 1

1 Stunde

       

Sonntag 2

1 Stunde

1 Stunde

     

Sonntag 3

   

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

Sonntag 4

 

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

Sonntag 5

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

Bei 6 Wochen ist die gesamte Brennzeit 21 Stunden, jede Kerze muss 3,5 Stunden lang brennen. Damit wird es wieder schwieriger.

Beweis:
Sei 2n die Anzahl der Wochen. Dann ist die gesamte Brenndauer  .
Jede Kerze muss somit  Stunden brennen. Dieser Bruch ist nicht ganzzahlig, da im Zähler eine ungerade Zahl steht.


Sei 2n+1 die Anzahl der Wochen. Dann ist die gesamte Brenndauer . Jede Kerze muss also n+1 Stunden brennen. Das läßt sich erreichen, ohne dass zwischendurch Kerzen gelöscht werden müssen.

Aufgabe 3:

Am ersten Sonntag brennt von der gesamten Pyramide das obere Stück ab. Das ist wiederum eine Pyramide. Ihr Volumen muss ein Viertel des Gesamtvolumens betragen. Es soll berechnet werden, bis zu welcher Höhe die Kerze am ersten Sonntag abbrennen darf.
Gesamtvolumen: . Dabei können a und h gemessen werden.
Volumen des oberen Teiles: . Nach dem Strahlensatz besteht ein Zusammenhang zwischen den Abmessungen der kleinen und der großen Pyramide: . Somit ergibt sich:
. Es sollte also das 0,63-fache der Höhe am ersten Sonntag abbrennen. Wird die Zeit gemessen, die dafür nötig ist, weiß der Professor, wie lange die Kerze an den übrigen Sonntagen brennen darf.