brlogo
untitled
   
   
   
 

Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
November/Dezember 2001

Aufgabe 1:

Die gesamte Brennzeit der Kerzen beträgt 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Stunden. Verteilt auf 4 Kerzen muss somit während der Adventszeit jede Kerze 2,5 Stunden brennen. Das geht nur dann, wenn an wenigstens einem Sonntag zwischendurch Kerzen ausgemacht und dafür andere angezündet werden.
Eine mögliche Lösung ist:

 

Kerze 1

Kerze 2

Kerze 3

Kerze 4

Sonntag 1

1 Stunde

     

Sonntag 2

0,5 Stunden

0,5 Stunden

0,5 Stunden

0,5 Stunden

Sonntag 3

 

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

Sonntag 4

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

Aufgabe 2:

Bei 5 Wochen beträgt die gesamte Brennzeit 15 Stunden, das bedeutet, jede Kerze muss 3 Stunden lang brennen. Deshalb gibt es Lösungen, bei denen nicht zwischendurch Kerzen gelöscht werden müssen.

Eine mögliche Lösung ist:

 

Kerze 1

Kerze 2

Kerze 3

Kerze 4

Kerze 5

Sonntag 1

1 Stunde

       

Sonntag 2

1 Stunde

1 Stunde

     

Sonntag 3

   

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

Sonntag 4

 

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

Sonntag 5

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

1 Stunde

Bei 6 Wochen ist die gesamte Brennzeit 21 Stunden, jede Kerze muss 3,5 Stunden lang brennen. Damit wird es wieder schwieriger.

Beweis:
Sei 2n die Anzahl der Wochen. Dann ist die gesamte Brenndauer  .

Jede Kerze muss somit  Stunden brennen. Dieser Bruch ist nicht ganzzahlig, da im Zähler eine ungerade Zahl steht.


Sei 2n+1 die Anzahl der Wochen. Dann ist die gesamte Brenndauer . Jede Kerze muss also n+1 Stunden brennen. Das läßt sich erreichen, ohne dass zwischendurch Kerzen gelöscht werden müssen.

Aufgabe 3:

Die gesamte Kerze hat die Gestalt einer Kugel, der Teil, der am ersten Sonntag abbrennen darf, hat die gestalt eines Kugelabschnittes. Sein Volumen muss ein Viertel des Gesamtvolumens sein. Damit ergibt sich:
; .
.
Setzt man h=ar , so ergibt sich die Gleichung , r spielt also keine Rolle für die Lösung.
Die Lösungen der Gleichung lassen sich näherungsweise (z. B. durch Intervallschachtelung oder durch Betrachten des Funktionsgraphen) ermittel. Es ergibt sich . Damit ist klar, wie viel von der Gesamthöhe der Kugel am ersten Sonntag abbrennen darf. Es wird die Zeit gemessen, die dafür erforderlich ist. Dann ist auch bekannt, wie lange die Kerze an den anderen Sonntagen brennen darf.