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Mathe-Treff: Knobel-Aufgaben für die Stufen 11 bis 13
Januar/Februar 2001

  1. Die Zahl 2001 soll so in vier verschiedene positive, ganzzahlige Summanden zerlegt werden, dass der Abstand des dritten Summanden vom ersten doppelt so groß, der Abstand des vierten Summanden vom ersten viermal so groß ist wie der Abstand des zweiten Summanden vom ersten. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
  2. Gaby, Hans und Jürgen machten eine Schneeballschlacht. Folgende Informationen sind über die Schlacht bekannt geworden:
  • Jeder dritte geworfene Ball hat auch jemanden getroffen.
  • Gaby hat ein Drittel aller Schneebälle geworfen, aber die Hälfte aller Treffer erzielt. Außerdem hat die Hälfte ihrer Würfe getroffen.
  • Jeder der drei wurde gleich oft getroffen.
  • Hans wurde so oft getroffen, wie er selber Treffer erzielt hat.
  • Der Anteil an Treffern bei den von Hans und Jürgen geworfenen Bällen war gleich groß.

Bestimme aus diesen Angaben, wie viele Bälle jeder geworfen hat, wie oft jeder getroffen hat und wie oft jeder getroffen wurde.
Falls es mehrere Möglichkeiten gibt, gib alle an.

  1. Gesucht ist eine achtstellige Zahl, die nicht die Ziffer 0 enthält. Das Quadrat der ersten Ziffer ist die Zahl die aus den beiden letzten Ziffern gebildet wird. Das Quadrat der fünften Ziffer ist die Zahl, die aus der dritten und vierten Ziffer gebildet wird. An der dritten, vierten und fünften Stelle kommen nur zwei verschiedene Ziffern vor. Sonst sind alle Ziffern voneinander verschieden. Außerdem ist die zweite Ziffer das Dreifache der sechsten Ziffer.
    Gib alle Zahlen an, die diese Bedingungen erfüllen, und begründe, dass es außer den von dir genannten keine weiteren gibt.