brlogo
untitled
   
   
   
 

Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
Januar/Februar 2002

Aufgabe 1:

Die Subtraktionen führen auf eine oder mehrere Endzahlen.

  1. Vierstellige Zahlen führen auf die „Kaprekarsche Zahl“ 6174.
    Beispiel: 7532, 5175, 5994, 5355, 1998, 8084, 8352, 6174.
  2. Siehe: a
  3. Für zweistellige Zahlen, z.B. für die Anfangszahl 84, ergibt sich ein Kreis mit immer wiederkehrenden Zahlen, wobei hier die größeren Zahlen aufgeführt sind
    84 -> 63, 72, 54, 90, 81,  63, 72, 54, 90, 81,  63, usw
    Bei dreistelligen Zahlen entsteht ein geradliniger Baum mit der Endzahl 495.
    Für die Zahl 351 ergibt sich: 351, 396, 594, 495
    Bei fünfstelligen Zahlen endet der Algorithmus in einem der drei Zyklen:
  1. 99954 <-> 95553
  2. 97731, 98532, 97443, 96642, ...
  3. 97641, 98622, 97533, 96543, ...

Aufgabe 2:

Zur Beantwortung bemerken wir zunächst, dass in der Legierung 21 kg Kupfer enthalten sind. Ein Fehler wäre es, der Mischung 6 kg Kupfer hinzuzufügen, um 27 kg des Metalls zu erhalten.
Das Gewicht der Legierung nimmt vielmehr um x kg zu, so dass lediglich die folgende Gleichung zu lösen ist:



Der Legierung sind also 60 kg Kupfer hinzuzufügen, die neue Schmelze wiegt 90 kg.

Aufgabe 3:

  1. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks beträgt . Jedes hinzugefügte Dreieck beträgt  vom Flächeninhalt des großen Dreiecks und die ersten drei kleineren Dreiecke haben eine Fläche von einem Drittel der ursprünglichen Fläche. Jede neue Iteration formt 4mal so viele Dreiecke hinzu wie beim Schritt davor, d.h. es wird nach jeder Erweiterung eine Fläche von  der letzten Vergrößerung hinzugefügt. Für die ersten drei Schritte ergibt sich somit folgendes Procedere:


  2. Der Umfang wächst immer um ein Drittel des letzten Wachstums, also:


    Der Umfang wächst exponentiell.