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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
Januar/Februar 2002

Aufgabe 1:

Die Subtraktionen führen auf eine oder mehrere Endzahlen.

  1. Vierstellige Zahlen führen auf die „Kaprekarsche Zahl“ 6174.
    Beispiel: 7532, 5175, 5994, 5355, 1998, 8084, 8352, 6174
  2. Siehe a)
  3. Eine vierstellige Zahl lässt sich in der Form 1000a + 100b +10c +d schreiben. Es sei bereits a>b>c>d. Dann ist abcd – dcba = 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + d-a.
    Da aber d - a = - ( a – d ) und c – b = - ( b – c ) ist, ergibt sich für die Subtraktionen die Differenz
    999 ( a – d ) + 90 ( b – c )
    mit d < a oder
    999x + 90y mit .
    Die Differenz ergibt also eine vierstellige Zahl oder 999.
    Durch Multiplikation erhält man hieraus eine Tabelle mit 90 verschiedenen Zahlen, die sich nach der Ordnung ihrer Ziffern nach Größe auf 30 Zahlen reduzieren. (siehe Tabelle!)
9990 9810 9711 9531 9441
9981 8820 8721 8532 8442
9972 8730 7731 7533 7443
9963 8640 7641 6543 6444
9954 8550 7551 5553 5544
  1. Alle diese Zahlen führen auf die „Kaprekarsche Konstante“ ( benannt nach dem indischen Mathematiker D. R. Kaprekar).
  2. Bei dreistelligen Zahlen entsteht ein geradliniger Baum mit der Endzahl 495.
    Für die Zahl 351 ergibt sich: 351, 396, 594, 495

    Bei fünfstelligen Zahlen endet der Algorithmus in einem der drei Zyklen:
  1. 99954 <-> 95553
  2. 97731, 98532, 97443, 96642, ...
  3. 97641, 98622, 97533, 96543, ...

Aufgabe 2:

Die größte Höhe erreicht der Pfeil bei 66 Fuß, der Sheriff hat ca. 3 Sekunden Zeit zum Reagieren.

Für t(0) ist h = 50 f, für h=5 ergibt sich:

 
Hieraus ergibt sich für t eine ungefähre Zeit von 2, 9525...Sekunden.

Das Problem ist auch ausschließlich über quadratische Gleichungen lösbar.

Da es diese Geschichte wohl nie gegeben hat und wir wissen, dass der Sheriff so nicht ums Leben gekommen ist, mögen auch die anatomischen Ungenauigkeiten zu seiner Person verziehen werden.

Aufgabe 3:

  1. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks beträgt . Jedes hinzugefügte Dreieck beträgt  vom Flächeninhalt des großen Dreiecks und die ersten drei kleineren Dreiecke haben eine Fläche von einem Drittel der ursprünglichen Fläche. Jede neue Iteration formt 4mal so viele Dreiecke hinzu wie beim Schritt davor, d.h. es wird nach jeder Erweiterung eine Fläche von  der letzten Vergrößerung hinzugefügt.
    Für die ersten drei Schritte ergibt sich somit folgendes Procedere:



  2.  Für n Schritte ergibt sich folgende Entwicklung:


  3. Der Umfang wächst immer um ein Drittel des letzten Wachstums, also:

    Der Umfang wächst exponentiell und ist mit steigendem n unendlich groß.
  4. Eine solche Figur nennt man auch Fraktale.