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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 7 und 8
März/Mai 2002

Aufgabe 1:

a)

   

2

5

9

6

+

 

7

9

3

4

 

1

0

5

3

0

Dies war sehr einfach zu ergänzen. Es gab schöne Kommentare.

b) Hier ist natürlich nicht zu erkennen, welche Ideen zur Lösung verhalfen.

6

4

5

x

7

2

1

4

5

1

5

1

2

9

0

_ _ _ _

6

4

5

4

6

5

0

4

5

Kommentarbeispiel:

Es ergibt sich: e ist 1, da (e x 6ab) < 1000 und 6ab > 499 ist. Also ist l = 6. Aus (1 x b) = 5 ergibt sich b = 5. Aus 1 mal 5 = n ergibt sich n = 5 und s = 6. Die Summe aus k und m ist 4. Da k das Produkt von d x 5 ist, ist k entweder 0 (d gerade) oder 5 (d ungerade). Daraus folgt m = 4, k = 0 und d ist eine gerade Zahl. Auch ist d nicht 0, da hijk > 1000 ist.

Aus m = 4 ergibt sich natürlich auch a = 4. Aus (c x 5) = x5 folgt c ist eine ungerade Zahl und aus f5g5 > 1000 folgt c >1. Ich versuche nun c herauszubekommen, da in dieser Zeile zwei Zahlen feststehen. Beim Ausprobieren mit c = 3, 5, 7 oder 9 ergibt sich, das nur c = 7 in dieser Zeile ein Ergebnis liefert: 4515, also f = 4, g = 1 und natürlich p = 4. Ebenso verfahre ich mit d = 2, 4, 6 oder 8 und Zeile zwei. Hier gibt es sofort mit d = 2 eine Lösung: 1290, also h = 1, i = 2 und j = 9. Bei der Probe-Addition ergeben sich q = 6, r = 0. Die Aufgabe geht auf. Es gibt aber keine weitere Lösung.(Nach L.J.)

Danach gilt:

a=4; b=5; c=7; d=2; e=1; f=4; g=8; h=1; i=2; j=9; k=0; l=6; m=4; n=5; p=4; q=6; r=0; s=5.

Aufgabe 2:

a) 1961(europäisches Jahr)

1380(arabisches Jahr)

b) 1380·354(Tage):365(Tage)+622(Jahre)=1960,4 ungefähr 1961.(nach Katharina H.)

Das arabische Jahr 1380 entspricht ungefähr dem europäischen Jahr 1961. Gründe sind in unterschiedlichem Jahresbeginn und im Nicht-Berücksichtigen von Schaltjahren zu sehen.

Text von P.S.: Vergleichen wir die vergangenen Jahre nach 622 A.D.:

Nach dem gregorianischen Kalender sind demnach 1961-622 = 1339 Jahre vergangen, nach dem Mondkalender sind es aber 1380 Jahre.

Diese Unterschiede kommen dadurch zustande, dass die beiden Kalender sich an unterschiedlichen periodischen Bewegungen von Erde, Sonne und Mond orientieren. Ein Jahr im gregorianischen Kalender entspricht dabei der Zeit, die die Erde für eine Umkreisung der Sonne benötigt, astronomisch gemessen 365,2422 Tage. Der Mondkalender orientiert sich an den Vollmond-Perioden. Demnach ist ein Mondjahr astronomisch 354,367 Tage lang.

Da die astronomischen Zahlen nun immer Dezimalzahlen ergeben, man aber keine halben Tage einführen konnte, wurden verschiedene Schalttage in den Kalendern eingeführt, die dieses Problem beheben sollen.

Vergleichen wir also nun die vergangen Tage seit dem Jahr 622 A.D.: (Hier werde ich die astronomisch gemessenen Tageszahlen benutzen, da diese ja auch etwa den Durchschnitt der 1380, bzw. 1339 Jahre (inklusive all ihrer verschiedener Schaltjahre) darstellen)

Gregorianischer Kalender: 1339 * 365,2422 = 489059,... [Tage]

Mondkalender: 1380 * 354,3670 = 489026,... [Tage]

Der errechnete Unterschied beträgt also nur 33 Tage, was dadurch erklärt werden kann, dass beide Kalender ja nicht im "gleichen" Monat sein müssen (keine Monatsangabe auf der Münze!!!).

Aufgabe 3:

Euro ohne Wechselgeld (Die Übersicht enthält 52 Beträge, die mit 1, 2 oder 3 Münzen bezahlt werden können.)

0,01

0,11

0,21

0,31

0,41

0,51

0,61

0,71

   

0,02

0,12

0,22

0,32

0,42

0,52

0,62

0,72

   

0,03

0,13

0,23

   

0,53

       

0,04

0,14

0,24

   

0,54

       

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

0,65

0,75

   

0,06

0,16

0,26

   

0,56

       

0,07

0,17

0,27

   

0,57

       

0,08

                 

0,09

                 

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

Nachweise durch Liste wie z.B.: 0,23€ = 0,20€ + 0,02€ + 0,01€

0,25€= 0,20€ + 0,05€ u.s.w.

Also sind 48% nicht auf diese Weise zu zahlen, (nur unter Verwendung von mehr als drei Münzen).

Euro mit Wechselgeld (nach Mathias W.) (Die Übersicht enthält 86 Beträge, die unter Beteiligung von 1, 2 oder 3 Münzen –inkl. Wechselgeld- bezahlt werden können.)

0,01

0,11

0,21

0,31

0,41

0,51

0,61

0,71

0,81

0,91

0,02

0,12

0,22

0,32

0,42

0,52

0,62

0,72

0,82

0,92

0,03

0,13

0,23

 

0,43

0,53

     

0,93

0,04

0,14

0,24

 

0,44

0,54

     

0,94

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

0,65

0,75

0,85

0,95

0,06

0,16

0,26

 

0,46

0,56

     

0,96

0,07

0,17

0,27

 

0,47

0,57

     

0,97

0,08

0,18

0,28

0,38

0,48

0,58

0,68

0,78

0,88

0,98

0,09

0,19

0,29

0,39

0,49

0,59

0,69

0,79

0,89

0,99

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

Am schwierigsten waren offenbar Lösungen für folgende Werte zu finden:

0,81€ = 1,00€ + 0,01€ -0,20€

0,82€, 0,91€ und 0,92€ entsprechend (2 Münzen geben – eine zurückerhalten)

Die einzelnen Auflistungen sind hier in der Übersicht weggelassen.

Es bleiben also 16% der Beträge nicht auf diese Weise bezahlbar.