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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
März/Mai 2002

Aufgabe 1:

a) 1961(europäisches Jahr)

1380(arabisches Jahr)

b) 1380·354(Tage):365(Tage)+622(Jahre)=1960,4 ungefähr 1961.

Das arabische Jahr 1380 entspricht ungefähr dem europäischen Jahr 1961, Gründe fürs "ungefähr" sind unterschiedliche Jahresbeginne.

Text von P.S.: Vergleichen wir die vergangenen Jahre nach 622 A.D.:

Nach dem gregorianischen Kalender sind demnach 1961-622 = 1339 Jahre vergangen, nach dem Mondkalender sind es aber 1380 Jahre.

Diese Unterschiede kommen dadurch zustande, dass die beiden Kalender sich an unterschiedlichen periodischen Bewegungen von Erde, Sonne und Mond orientieren. Ein Jahr im gregorianischen Kalender entspricht dabei der Zeit, die die Erde für eine Umkreisung der Sonne benötigt, astronomisch gemessen 365,2422 Tage. Der Mondkalender orientiert sich an den Vollmond-Perioden. Demnach ist ein Mondjahr astronomisch 354,367 Tage lang.

Da die astronomischen Zahlen nun immer Dezimalzahlen ergeben, man aber keine halben Tage einführen konnte, wurden verschiedene Schalttage in den Kalendern eingeführt, die dieses Problem beheben sollen.

Vergleichen wir also nun die vergangen Tage seit dem Jahr 622 A.D.: (Hier werde ich die astronomisch gemessenen Tageszahlen benutzen, da diese ja auch etwa den Durchschnitt der 1380, bzw. 1339 Jahre (inklusive all ihrer verschiedener Schaltjahre) darstellen)

Gregorianischer Kalender: 1339 * 365,2422 = 489059,... [Tage]

Mondkalender: 1380 * 354,3670 = 489026,... [Tage]

Der errechnete Unterschied beträgt also nur 33 Tage, was dadurch erklärt werden kann, dass beide Kalender ja nicht im "gleichen" Monat sein müssen (keine Monatsangabe auf der Münze!!!).

Aufgabe 2:

a) 

  • das Jahr 0 gab es nicht; man zählte: dem Jahr 1 vor Christi Geburt folgt das Jahr 1 nach Chr. Dies will bei Altersangaben oder astronomischen Berechnungen über diesen Zeitraum hinaus beachtet werden!
  • 15. März 44 v.Chr.: Da wurde z.B. Julius Caesar, Kaiser in Rom und oberster Priester, ermordert. Der Julianische Kalender geht auf ihn zurück.
  • 1500 Jahre kleiner Ungenauigkeiten führten zur Verschiebung der Jahreszeiten und bestimmter Daten. Der Kalender ging nach. Papst Gregor XIII. ließ dem 4.10.1582 den 15.10.1582 folgen. Den 10.10.1582 gab es nicht, folglich passierte zu diesem Datum nichts.

b) Julius Caesar

c) Papst Gregor XIII, 1582,

d) Russland und viele andere Staaten haben die Autorität des Papstes und den erlassenen Kalenderwechsel lange Zeit nicht anerkannt, also z.T. Jahrhunderte. 1917 fand in Russland nach dortigem julianischen Kalender die Revolution im Oktober, nach mehrheitlichem europäischen (gregorianischem) Kalender im November statt. Die das Zarenreich ablösende Sowjetunion übernahm den verbreiteten (gregorianischen) Kalender. Deshalb wurde nicht nur 1987 der "Oktoberrevolution" im November gedacht.

Die Woche gehört zu den ältesten Kalendereinheiten. Ihr Ursprung ist unbekannt, wird jedoch im Orient vermutet. Die Woche wurde von der jüdisch-christlichen Tradition übernommen, die nach sechs Arbeitstagen einen Ruhetag fordert. Die Namen der Wochentage gehen auf die Römer zurück, die sie nach den fünf mit dem Auge sichtbaren Planeten, sowie Sonne und Mond benannten. Im Deutschen wurden einige römische Götternamen durch germanische ersetzt. Donnerstag und Freitag sind nach Donar und Freya benannt. Die Einteilung des Jahres in zwölf etwa gleich lange Monate entspricht dem Durchgang der Sonne durch die zwölf Tierkreiszeichen. Sowohl die Monatsnamen als auch die Aufteilung der Monatsdauer zwischen 28 und 31 Tagen geht auf die römische Zeitrechnung zurück. In den Mondkalendern entsprechen die Monate der Zeit zwischen zwei Vollmonden. Die Verschiedenheit der Kalender beruht weniger auf der Ungenauigkeit der alten astronomischen Messungen als auf dem grundsätzlichen Problem des Ausgleichs der sich aufsummierenden Bruchteile der Tage im Sonnenjahr durch die Einschaltung zusätzlicher ganzer Tage. Für diese Schalttagregelung bestehen verschiedene Möglichkeiten. Das ägyptische Jahr hatte immer 365 Tage. Da es keinen Schalttag gab, blieb das ägyptische Jahr hinter dem natürlichen Jahr zurück; es wurde deshalb mit der Position des Sirius synchronisiert. Die Ägypter orientierten sich bei ihrem täglichen Leben an den periodischen Überschwemmungen des Nil. Das babylonische Jahr ist ein Mondjahr mit 354 Tagen. Anfangs wurden unregelmäßig, später systematisch alle 19 Jahre sieben Schaltmonate eingefügt. Das muslimische Jahr ist ein Mondjahr von 354 Tagen. In 30 Jahren gibt es 11 Schaltjahre mit 355 Tagen. Der jüdische Kalender beruht auf einem Lunisolarjahr. Im 19-jährigen Schaltzyklus sind die Jahre 3, 6, 8, 11, 14, 17, 19 Schaltjahre. Die Länge der Jahre variiert zwischen 353, 354 und 355 Tagen, die der Schaltjahre zwischen 383, 384 und 385 Tagen. Der julianische Kalender wurde von Julius Caesar 45 v.Chr. in Rom eingeführt. Das julianische Jahr enthält 365,25 Tage, so dass alle vier Jahre ein Schalttag eingeführt werden muss. Der gregorianische Kalender ist unser heute üblicher Kalender. Bei der Einführung des julianischen Kalenders war die Tagundnachtgleiche im Frühling am 23. März und hatte sich seither ständig weiter verschoben. Als Papst Gregor XIII. den neuen Kalender 1582 in Kraft setzte, war sie bereits auf den 11. März vorgerückt. Sie wurde nun auf den 21. März festgesetzt. Außerdem wurde beschlossen, dass auf den 4. Oktober 1582 unmittelbar der 15. Oktober 1582 folgen sollte. Dieser Datumssprung wurde in den einzelnen Ländern jeweils bei der Übernahme des gregorianischen Kalenders nachvollzogen, so im protestantischen Deutschland erst 1700, in Großbritannien 1752 und in Russland erst nach der Oktoberrevolution 1917. Der Gregorianische Kalender ergänzt die julianische Regelung der Schalttage so, dass in den durch 100 teilbaren Jahren dann keine Tage eingeschaltet werden, wenn die Hunderterzahl nicht durch vier teilbar ist. Absender: Philipp Sp. ,Klasse: 10, Bochum

Aufgabe 3:

Euro ohne Wechselgeld (Die Übersicht enthält 52 Beträge, die mit 1, 2 oder 3 Münzen bezahlt werden können.)

0,01

0,11

0,21

0,31

0,41

0,51

0,61

0,71

   

0,02

0,12

0,22

0,32

0,42

0,52

0,62

0,72

   

0,03

0,13

0,23

   

0,53

       

0,04

0,14

0,24

   

0,54

       

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

0,65

0,75

   

0,06

0,16

0,26

   

0,56

       

0,07

0,17

0,27

   

0,57

       

0,08

                 

0,09

                 

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

Nachweise durch Liste wie z.B.: 0,23€ = 0,20€ + 0,02€ + 0,01; 0,25€= 0,20€ + 0,05€ u.s.w.

Also sind 48% nicht auf diese Weise zu zahlen.

Euro mit Wechselgeld (nach Mathias W.) (Die Übersicht enthält 86 Beträge, die unter Beteiligung von 1, 2 oder 3 Münzen –incl. Wechselgeld- bezahlt werden können.)

0,01

0,11

0,21

0,31

0,41

0,51

0,61

0,71

0,81

0,91

0,02

0,12

0,22

0,32

0,42

0,52

0,62

0,72

0,82

0,92

0,03

0,13

0,23

 

0,43

0,53

     

0,93

0,04

0,14

0,24

 

0,44

0,54

     

0,94

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

0,65

0,75

0,85

0,95

0,06

0,16

0,26

 

0,46

0,56

     

0,96

0,07

0,17

0,27

 

0,47

0,57

     

0,97

0,08

0,18

0,28

0,38

0,48

0,58

0,68

0,78

0,88

0,98

0,09

0,19

0,29

0,39

0,49

0,59

0,69

0,79

0,89

0,99

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

Am schwierigsten waren offenbar Lösungen für folgende Werte zu finden:

0,81€ = 1,00€ + 0,01€ -0,20€

0,82€, 0,91€ und 0,92€ entsprechend (2 Münzen geben – eine zurückerhalten)

Die einzelnen Auflistungen sind hier in der Übersicht weggelassen.

Es bleiben also 16% der Beträge nicht auf diese Weise bezahlbar.