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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
März/Mai 2002

Aufgabe 1:

A.D. 1961 (europäisches Jahr), A.H. 1380 (muslimisches Jahr)

1380·354(Tage) : 365(Tage)+622(Jahre)=1960,4 ungefähr 1961.

Das arabische Jahr 1380 entspricht ungefähr dem europäischen Jahr 1961, Gründe fürs "ungefähr" sind unterschiedliche Jahresbeginne.

Text von P.S.: Vergleichen wir die vergangenen Jahre nach 622 A.D.:

Nach dem gregorianischen Kalender sind demnach 1961-622 = 1339 Jahre vergangen, nach dem Mondkalender sind es aber 1380 Jahre.

Diese Unterschiede kommen dadurch zustande, dass die beiden Kalender sich an unterschiedlichen periodischen Bewegungen von Erde, Sonne und Mond orientieren. Ein Jahr im gregorianischen Kalender entspricht dabei der Zeit, die die Erde für eine Umkreisung der Sonne benötigt, astronomisch gemessen 365,2422 Tage. Der Mondkalender orientiert sich an den Vollmond-Perioden. Demnach ist ein Mondjahr astronomisch 354,367 Tage lang.

Da die astronomischen Zahlen nun immer Dezimalzahlen ergeben, man aber keine halben Tage einführen konnte, wurden verschiedene Schalttage in den Kalendern eingeführt, die dieses Problem beheben sollen.

Vergleichen wir also nun die vergangen Tage seit dem Jahr 622 A.D.: (Hier werde ich die astronomisch gemessenen Tageszahlen benutzen, da diese ja auch etwa den Durchschnitt der 1380, bzw. 1339 Jahre (inklusive all ihrer verschiedener Schaltjahre) darstellen)

Gregorianischer Kalender: 1339 * 365,2422 = 489059,... [Tage]

Mondkalender: 1380 * 354,3670 = 489026,... [Tage]

Der errechnete Unterschied beträgt also nur 33 Tage, was dadurch erklärt werden kann, dass beide Kalender ja nicht im "gleichen" Monat sein müssen (keine Monatsangabe auf der Münze!!!).

c) Das Datum existiert nicht. Man wählte das Jahr von Christi Geburt als "Jahr 1"; das Jahr davor wird nicht mit "Jahr 0", sondern mit "Jahr 1 vor Chr." bezeichnet.

d) Julius Caesar

e) Papst Gregor XIII, 1582,

f) Russland und viele andere Staaten haben die Autorität des Papstes und den erlassenen Kalenderwechsel lange Zeit nicht anerkannt, also z.T. Jahrhunderte. 1917 fand in Russland nach dortigem julianischen Kalender die Revolution im Oktober, nach mehrheitlichem europäischen (gregorianischem) Kalender im November statt. Die das Zarenreich ablösende Sowjetunion übernahm den verbreiteten (gregorianischen) Kalender. Deshalb wurde nicht nur 1987 der "Oktoberrevolution" im November gedacht.

Aufgabe 2:

a) 16% der Beträge lassen sich nicht mit bis zu drei Münzen (incl. Wechselgeld) bezahlen.

b) Von 221 v.Chr. bis heute sind es 2002-(-221)-1 =2220 Jahre. (Jahr 0 fehlt)

100 griechische Drachmen •(1+2%)2220 ≈ 1,237033074 • 1019 (gr.Dr.)

≈ 0,00277476 1,237033074 • 1019 US$

≈ 3,43246989 • 1018 US$

≈ 3,9005 • 1018 €

≈ 1,144156631 • 1016 Feinunzen Gold (bei 300$ je Feinunze Gold)

≈ 3,551462183 • 1014 kg reines Gold

≈ 355 146 218 300 000 t reines Gold (also unmöglich zu realisieren)

Aufgabe 3:

Bezeichnen wir von links nach rechts die markierten Punkte auf dem Durchmesser des großen Kreises mit A,B,C,D,E und F, den Tangentenabschnitt mit ; dann gilt

r sei die Länge von , p die von , q die von .

Das Dreieck AFH ist rechtwinklig (Satz des Thales).

Im Dreieck AFH gilt der Höhensatz h2 = pq.

(Verwendung von p+q=r)

(binomische Formel , Umformung)

(Höhensatz)

q.e.d.