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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
Juni/August 2002

Aufgabe 1:

Da O + R = R bzw. O + R + 1 = R + 10, muss = O 9 oder 0 sein. Es kann auch kein größerer Übertrag auftreten, da nur jeweils zwei verschiedene Ziffern addiert werden.
Begründung:
Wenn O = 0, dann ist S + T = E + 10 (Der Übertrag von 10 muss hier sein, weil S verschieden F ist (nach Aufgabenstellung. Es muss also gelten S + 1 = F.).
Wenn O = 9 ist, dann ist S + T +1 = E + 10.
Da N + N = E und E + D = E muss ein Übertrag bei E + D = E auftreten, also E + D = 10 + E oder es tritt ein Übertrag bei N + N = E auf.
Sinnvoller weise beginnt man das Ausprobieren mit N, wobei 0 und 9 wegfallen und erhält dann folgende zwei Lösungen:

SONETRADFI
1.Lösung4013926857
2.Lösung5974812360

Aufgabe 2:

a)
Die Sitzplätze werden, von links beginnend, der Reihe nach mit 1,2,3,4 und 5 nummeriert.
Dann gilt:
(1) Auf Platz 1 sitzt diejenige, die Maschinenbau studieren will.
(15) Auf Platz 2 sitzt die aus Aachen kommende, wegen (1) und 14).
(16)Auf Platz 1 sitzt die aus Essen kommende, sie will Maschinenbau studieren, will nach Jersey fahren und ist Wasserski – Sportlerin.
Beweis:
Auf Platz 1 sitzt die aus Düsseldorf kommende, wegen (1) und (3), nicht die aus Wuppertal und die aus Köln kommende wegen (11) und (15) und nicht die aus Aachen kommende wegen (15). Wegen (8) fährt sie nach Jersey und ist wegen (10) nicht Badminton – Sportlerin, wegen (1) und (5) nicht Schwimmerin, wegen (7) nicht Surferin und wegen (2) nicht Volleyballerin.
Damit ergibt sich die Behauptung (16).

b)
(17) Die Aachenerin ist 17 wegen (13), (16) und (14).
(18) Die zukünftige Biologiestudentin spielt Volleyball oder surft.
Begründung:
Die zukünftige Biologiestudentin fährt nicht Wasserski wegen (16) und ist keine Badmintonspielerin wegen (6) und (10) und nicht Schwimmerin wegen (5).

(19) Die zukünftige Biologiestudentin ist Wuppertalerin oder Kölnerin, weil sie nicht aus Essen kommt wegen (16), nicht aus Düsseldorf kommt wegen (3) und nicht aus Aachen kommt wegen (18), (2) und (15) bzw. (18) und (7).

(20) Die zukünftige Biologiestudentin sitzt auf Platz 3, 4, 5 wegen (1), (15) und (19).
(21) Die zukünftige Biologiestudentin ist 19 oder 20 Jahre alt.
Begründung.
Sie ist nicht 16 wegen (4), nicht 17 wegen (17) und 19 und nicht 18 wegen (6) und (9).

(22) Die Aachenerin auf Platz 2 reist nach Malta.

Begründung:
Sie reist nicht nach Korsika wegen (9) und (17), nicht nach Teneriffa wegen (19) und (6), nicht nach Jersey wegen (16) und nicht nach Kreta, denn dann wäre sie wegen (10) Badmintonspielerin, daher wegen (18) nicht zukünftige Biologiestudentin, wegen (5) nicht zukünftige Physikstudentin, wegen (16) nicht zukünftige Maschinenbaustudentin und wegen (3) nicht zukünftige Mathematikstudentin. Dann wäre sie 16 Jahre alt wegen (4) im Widerspruch zu (17).

(23) Die zukünftige Biologiestudentin ist 19 Jahre alt.

Begründung:

Angenommen, das wäre nicht der Fall, dann wäre sie wegen (21) 20 Jahre alt und säße wegen (12), (22) und (16) auf Platz 3. Sie wäre also wegen (2) Volleyballspielerin und wegen (7) und (19) Kölnerin. Dann säße wegen (11) und (15) die Wuppertalerin auf Platz 4, wäre nicht zukünftige Maschinenbaustudentin wegen (16) nicht zukünftige Physikstudentin wegen (7) und (5), nicht zukünftige Mathematikstudentin wegen (3), sondern zukünftige Informatikstudentin und daher 16 Jahre alt wegen(4). Daher hätte die Freundin aus Wuppertal nicht das Reiseziel Korsika wegen(9) und nicht die Reiseziele Jersey wegen (16), Malta wegen (22), Teneriffa wegen (6) und Kreta wegen (7) und (10) im Widerspruch zur Voraussetzung, dass eines der fünf Ziele auch Reiseziel ist.

Aufgabe 3:

In einem konvexen n – Eck gilt für die Anzahl der Diagonalen d(n):

Begründung: Da von einer Ecke nach jeder anderen Ecke außer der Ausgangsecke und den beiden benachbarten Ecken eines konvexen n – Ecks Diagonalen gezogen werden können, kann man von jeder Ecke eines konvexen n – Ecks (n-3) Diagonalen ziehen. Demzufolge lassen sich von jeder der n – Ecken Diagonalen ziehen. Dies ergibt Hier wird aber jede Diagonale doppelt gezählt. Damit erhält man .(*)
Demzufolge kann die Anzahl der Diagonalen nur dann eine Primzahl sein, wenn n = 4 und
n = 5 ist.
Begründung für n > 4
N ist gerade. Dann ist d(n) immer ein Produkt zweier natürlicher Zahlen (verschieden 1), also kann d(n) keine Primzahl sein.
N ist ungerade, dann ist wegen (*) d(n) = n(0,5n-1,5). Wenn n ungerade ist, dann ist 0,5n gleich eine bestimme natürliche Zahl und einem Rest von 0,5. Zieht man jetzt noch 1,5 ab, ergibt sich auf jeden Fall eine natürliche Zahl und d(n) ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen, und kann deshalb keine Primzahl sein.